Trace et transposée de matrice/Exercices/Résolution au mieux d'un système impossible à résoudre

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Résolution au mieux d'un système impossible à résoudre
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Exercices no2
Leçon : Trace et transposée de matrice
Chapitre du cours : Résolution au mieux d'un système d'équations insoluble

Ces exercices sont de niveau 15.

Exo préc. :Propriétés de la trace
Exo suiv. :Calcul de l'équation d'une droite de régression
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Trace et transposée de matrice/Exercices/Résolution au mieux d'un système impossible à résoudre
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Exercice 2-1[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre au mieux le système suivant :


Exercice 2-2[modifier | modifier le wikicode]

Après le décès d'une mère célibataire, ses trois enfants sont convoqués chez le notaire pour l'ouverture du testament. Voici le testament lu par le notaire :

Testament de Ursule Nullenmat.

Moi, Ursule Nullenmat, saine de corps et d'esprit, souhaite partager ma fortune de 8 400 € entre mes trois enfants : Claire, Victor et Laure. Je souhaite que Laure ait 4 500 € de plus que Claire. Je souhaite aussi que Victor ait trois fois plus que Claire et que Laure ait deux fois plus que Victor.

Quelle somme va attribuer le notaire à chacun des trois enfants pour satisfaire au mieux les volontés d'Ursule ?

Exercice 2-3[modifier | modifier le wikicode]

Humour : un chamelier lègue ses 17 chameaux à ses trois fils : il désire que l'aîné ait la moitié, le cadet le tiers et le benjamin le neuvième : comment vont-ils procéder pour que le partage soit juste ?


Exercice 2-4[modifier | modifier le wikicode]

Ce chamelier, qui ne connaissait pas la méthode des matrices transposées mais seulement celle des différentielles partielles, pense pouvoir, en les utilisant,léguer ses 17 chameaux à ses trois fils : il désire toujours que l'aîné ait la moitié, le cadet le tiers et le benjamin le neuvième : comment vont-ils procéder, à l'aide des différentielles, pour que le partage soit aussi juste que dans l'exercice 2-3 et vont-ils obtenir même résultat?

Exercice 2-5[modifier | modifier le wikicode]

(généralisation de l'exercice précédent)
Soit un système quelconque de trois équations à deux inconnues.
Vérifiez que l’on obtient bien le même résultat, que l’on applique la méthode de cette leçon ou que l’on applique la méthode consistant à annuler les dérivée partielles de la somme des carrés des différences des deux membres.


Exercice 2-6[modifier | modifier le wikicode]

(On remarque que le deuxième système a été obtenu à partir du premier en multipliant les deux membres de la première équation par 2.)

a) Résoudre au mieux ces deux systèmes. Que constate-t-on ?

b) Montrer que la solution de chacun des systèmes ne convient pas à l'autre système.

c) Conclure.