Théorie des groupes/Exercices/Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall

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Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall
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Exercices no30
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. : Théorème de Gaschütz
Exo suiv. : Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives
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Théorie des groupes/Exercices/Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe simple d'ordre 60. (On a explicité la structure d'un tel groupe dans les exercices du chapitre Premiers résultats sur les groupes simples, mais cela ne nous servira pas ici.) D'après la réciproque du théorème de Hall (réciproque mentionnée sans démonstration dans la partie théorique), il existe au moins un diviseur naturel d de 60 tel que d et 60/d soient premiers entre eux et que G n'ait pas de sous-groupe d'ordre d. Trouver un tel diviseur. (Indication : dans le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples, on a vu qu'un groupe simple fini est isomorphe à certains sous-groupes de Sn pour des valeurs intéressantes de n.)