Intégration (mathématiques)/Exercices/Propriétés de l'intégrale

Exercice 4-1

Soit $f:[0,1]\to [0,1]$ continue telle que $\int _{0}^{1}f(x)\ \mathrm {d} x=\int _{0}^{1}f^{2}(x)\ \mathrm {d} x$.

Montrer que $f$ est constante et égale à 0 ou 1.

Solution

La fonction $f-f^{2}$ est continue, positive ou nulle et d'intégrale nulle. C'est donc la fonction nulle, c'est-à-dire que $f$ ne prend que les valeurs $0$ ou $1$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle ne prend que l'une de ces deux valeurs.

 

Exercice 4-2

Soit $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ continue telle que $\int _{0}^{1}f(x)\ \mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}.$

Montrer qu’il existe $c\in ]0,1[$ tel que $f(c)=c.$

Solution

La fonction $x\mapsto f(x)-x$ est continue et d'intégrale nulle donc elle est soit nulle, auquel cas n'importe quel $c\in ]0,1[$ convient, soit de signe non constant, auquel cas, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle s'annule en au moins un point $c\in ]0,1[$.

 

Exercice 4-3

Montrer que la suite définie par ${\mathit {u}}_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\cfrac {n}{n^{2}+k^{2}}}$ converge et calculer sa limite.

Solution

Posons : $f:x\mapsto {\frac {1}{1+x^{2}}}.$

En divisant par $n^{2}$ les numérateurs et dénominateurs de la somme, on obtient :

${\begin{aligned}u_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\frac {1}{n}}{1+{\frac {k^{2}}{n^{2}}}}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+\left({\frac {k}{n}}\right)^{2}}}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right).\end{aligned}}$

On reconnaît une somme de Riemann de $f$ associée à la partition de $[0,1]$ en $n$ sous-segments. Or $f$ est continue et intégrable sur $[0,1]$. Sa somme de Riemann $u_{n}$ converge donc vers $\int _{0}^{1}f(x)\ \mathrm {d} x$. De plus, $f$ est une fraction rationnelle donc on en connaît une primitive : la fonction arctan.

${\begin{aligned}\lim _{n\to +\infty }u_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\ \mathrm {d} x\\&=\left[\arctan x\right]_{0}^{1}\\&={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}$

 

Exercice 4-4

• Soient $f$ une fonction continue, T-périodique sur $\mathbb {R}$, et $a b$ dans $\mathbb {R}$. Montrer que $\int _{a}^{b}f=\int _{a+T}^{b+T}f.$

Solution

Il suffit de faire un changement de variable et de poser $s=x-T$. On a alors $\int _{a+T}^{b+T}f(x)\ \mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(s+T)\ \mathrm {d} s=\int _{a}^{b}f(s)\ \mathrm {d} s$.

 

• Soient $f$ une fonction impaire sur $\mathbb {R}$, et $a\geq 0$. Que dire de $\int _{-a}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x$ ? Quid si $f$ est paire ?

Solution

Pour $f$ impaire, on a :

${\begin{aligned}\int _{-a}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x&=\int _{-a}^{0}f(x)\ \mathrm {d} x+\int _{0}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x\\&=\int _{-a}^{0}-f(-x)\ \mathrm {d} x+\int _{0}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{a}-f(x)\ \mathrm {d} x+\int _{0}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x\\&=0.\end{aligned}}$

Pour $f$ paire, on a :

${\begin{aligned}\int _{-a}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x&=\int _{-a}^{0}f(x)\ \mathrm {d} x+\int _{0}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x\\&=\int _{-a}^{0}f(-x)\ \mathrm {d} x+\int _{0}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x+\int _{0}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x\\&=2\int _{0}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x.\end{aligned}}$

 

Exercice 4-5

Soit $a 0$ et $f:[0,a]\to \mathbb {R}$ de classe $C^{1}$ telle que $f(0)=0$. Montrer que :

$\int _{0}^{a}|f(t)|^{2}\,dt\leq {\frac {a^{2}}{2}}\int _{0}^{a}|f'(t)|^{2}\ \mathrm {d} t.$

Solution

Notons $I=\int _{0}^{a}|f'(u)|^{2}\ \mathrm {d} u$.

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a :

$|f(t)|^{2}=|f(t)-f(0)|^{2}=\left|\int _{0}^{t}f'(u)\ \mathrm {d} u\right|^{2}\leq \int _{0}^{t}|f'(u)|^{2}du\,\int _{0}^{t}1^{2}\ \mathrm {d} u\leq It$.

On conclut : $\int _{0}^{a}|f(t)|^{2}\,dt\leq I\int _{0}^{a}t\,dt=I{\frac {a^{2}}{2}}$.

 

Exercice 4-6

Soit $a 0$ et $f:[-a,a]\to \mathbb {R}$ de classe $C^{2}$. Montrer que :

$\forall t\in [-a,a]\quad |f'(t)|\leq {\frac {1}{2a}}|f(a)-f(-a)|+{\frac {a^{2}+t^{2}}{2a}}\sup _{[-a,a]}|f''|$.

Solution

Notons $M=\sup _{[-a,a]}|f''|$.

$\left|2af'(t)-(f(a)-f(-a))\right|=\left|\int _{-a}^{a}(f'(t)-f'(s))\,\mathrm {d} s\right|\leq M\int _{-a}^{a}|t-s|\,\mathrm {d} s=M\left(a^{2}+t^{2}\right)$.

 

Exercice 4-7

Référence : Frédéric Paulin, « Topologie, analyse et calcul différentiel », 2008, p. 260, lemme 7.23

Soient $b,k 0$, $a\in \mathbb {R}$ et $g:\left[0,b\right]\to \mathbb {R}$ une fonction continue telle que

$\forall t\in \left[0,b\right]\quad g\left(t\right)\leq at+k\int _{0}^{t}g\left(s\right)\ \mathrm {d} s$.

Démontrer que $\forall t\in \left[0,b\right]\quad g\left(t\right)\leq {\frac {a}{k}}\left(\mathrm {e} ^{kt}-1\right)$.

Solution

Posons $h\left(t\right)=\mathrm {e} ^{-kt}\int _{0}^{t}g\left(s\right)\ \mathrm {d} s$. Alors,

$h\left(t\right)=0\quad {\text{et}}\quad h'\left(t\right)=\mathrm {e} ^{-kt}\left(g\left(t\right)-k\int _{0}^{t}g\left(s\right)\ \mathrm {d} s\right)\leq \mathrm {e} ^{-kt}at$

donc $h\left(t\right)\leq a\int _{0}^{t}\mathrm {e} ^{-ks}s\ \mathrm {d} s={\frac {a}{k^{2}}}\left(1-\mathrm {e} ^{-kt}-kt\mathrm {e} ^{-kt}\right)$,

si bien que $g\left(t\right)\leq at+k\mathrm {e} ^{kt}h\left(t\right)\leq at+{\frac {a}{k}}\left(\mathrm {e} ^{kt}-1-kt\right)={\frac {a}{k}}\left(\mathrm {e} ^{kt}-1\right)$.

 

Exercice 4-8

Soient $f$ et $g$ des fonctions continues sur un intervalle $[a,b]$ (avec $a b$).

On suppose que $f$ est croissante et que $g$ prend ses valeurs dans $[0,1]$. On pose :

$I=\int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t$.

1. Étudier les variations de la fonction $G$ définie par :

   $G(x)=\int _{a}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t$.

   Montrer que $a+G(x)\leq x$.

2. Comparer les fonctions $\varphi$ et $\psi$ définies par :

   $\varphi (x)=\int _{a}^{x}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t$ ;

   $\psi (x)=\int _{a}^{a+G(x)}f(t)\,\mathrm {d} t$.

3. Démontrer que :

   $\int _{a}^{b}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t\geq \int _{a}^{a+I}f(t)\,\mathrm {d} t$.

   Dans quel cas a-t-on l'égalité ?

Solution

1. $G'=g\geq 0$ donc $G$ est croissante, de $G(a)=0$ à $G(b)=I$.

   $(x-G)'=1-g\geq 0$ donc $x-G(x)\geq a-G(a)=a$.

2. $\psi '(x)=g(x)f\left(a+G(x)\right)\leq g(x)f(x)=\varphi '(x)$ et $\psi (a)=0=\varphi (a)$ donc $\psi \leq \varphi$.
3. $\varphi (b)\geq \psi (b)$, avec égalité si et seulement si $\forall x\in [a,b]\quad f\left(a+G(x)\right)=f(x)$ ou $g(x)=0$, ce qui a lieu par exemple si $f$ est constante ou si $g=1$ ou $0$.

 

Exercice 4-9

Soient $\alpha$ un nombre complexe de partie réelle strictement positive et $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ une application de classe C¹ telle que $\lim _{+\infty }\left(f+\alpha f'\right)=\ell \in \mathbb {C}$. Montrer que $\lim _{+\infty }f={\frac {\ell }{\alpha }}$.

Solution

Jean-Louis Rouget, « Equations différentielles linéaires » sur Exo7, exercice 2.