L’Encyclopédie/1re édition/EQUATION

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(Tome 5p. 842-871).
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EQUATION, s. f. en Algebre, signifie une expression de la même quantité présentée sous deux dénominations différentes. Voyez Egalité.

Ainsi quand on dit  ; cela veut dire qu’il y a équation entre deux fois trois & quatre plus deux.

On peut définir l’équation un rapport d’égalité entre deux quantités de différente dénomination, comme quand on dit 60 sous=3 liv. ou 20 sous=1 liv. ou , ou , &c.

Ainsi mettre des quantités en équation, c’est représenter par une double expression des quantités réellement égales & identiques.

Le caractere ou le signe d’équation est = ou ∝ ; ce dernier est plus fréquent dans les anciens algébristes, & l’autre dans les modernes. Voyez Caractere.

La résolution des problèmes par le moyen de leurs équations, est l’objet de l’Algebre. Voyez Algebre.

Membres d’une équation, ce sont les deux quantités qui sont séparées par le signe = ou ∝ ; & termes d’une équation, ce sont les différentes quantités ou parties, dont chaque membre de l’équation est composé, & qui sont jointes entr’elles par les signes + & -. Ainsi dans l’équation est un membre, & d l’autre ; & b, c, d, sont les termes ; & l’équation signifie que la seule quantité d est égale aux deux b & c prises ensemble. Voyez Terme, Membre.

Racine d’une équation, est la valeur de la quantité inconnue de l’équation. Ainsi dans l’équation , la racine est . Voyez Racine.

Les équations, eu égard à la puissance plus ou moins grande à laquelle l’inconnue y monte, se divisent en équations simples, quarrées, cubiques, &c.

Equation simple ou du premier degré, est celle dans laquelle l’inconnue ne monte qu’à la premiere puissance ou au premier degré, comme .

Equation quarrée ou du second degré, est celle où la plus haute puissance de l’inconnue est de deux dimensions, comme ou . Voyez Quarré & Degré.

Equation cubique ou du troisieme degré, est celle où la plus haute puissance de l’inconnue est de trois dimensions, comme ou . Voyez Cubique.

Si la quantité inconnue est de quatre dimensions, comme ou , l’équation est appellée biquadratique ou quarrée quarrée, ou plus communément du quatrieme degré ; si l’inconnue a cinq dimensions, l’équation est nommée sur-de-solide ou du cinquieme degré, &c. V. Puissance.

On peut considérer les équations sous deux points de vûe, ou comme les dernieres conclusions auxquelles on arrive dans la solution des problemes, ou comme les moyens par lesquels on parvient à la solution finale. Voyez Solution & Problème.

Lés équations de la premiere espece ne renferment qu’une quantité inconnue mêlée avec d’autres quantités données ou connues ; celles de la seconde espece renferment différentes quantités inconnues qui doivent être comparées & combinées ensemble, jusqu’à ce que l’on arrive à une nouvelle équation qui ne renferme plus qu’une inconnue mêlée avec des connues.

Pour trouver la valeur de cette inconnue, on prépare & on transforme l’équation de différentes manieres, qui servent à l’abaisser au moindre degré, & à la rendre la plus simple qu’il est possible.

La théorie & la pratique des équations, c’est-à dire la solution des questions par les équations, a plusieurs branches ou parties. 1°. La dénomination qu’on doit donner aux différentes quantités en les exprimant par les signes ou symboles convenables. 2°. La réduction du problème en équation. 3°. La réduction de l’équation même au degré le plus bas & à la forme la plus simple. 4°. On y peut ajoûter la solution de l’équation ou la représentation de ses racines par des nombres ou des lignes. Nous allons donner d’abord les regles particulieres aux deux premiers articles, c’est-à-dire en général la méthode de mettre en équation une question proposée.

Une question ou un probleme étant proposé, on suppose que les choses cherchées ou demandées sont déjà trouvées, & on les marque ordinairement par les dernieres lettres x, y, z, &c. de l’alphabet, marquant en même tems les quantités connues par les premieres lettres de l’alphabet, comme b, c, d, &c. Voyez Quantité, Caractere, &c.

Toutes les quantités qui doivent entrer dans la question, étant ainsi nommées, on examine si la question est sujette à restriction, ou non, c’est-à-dire si elle est déterminée ou indéterminée. Voici les regles par lesquelles on peut le savoir.

1°. S’il y a plus de quantités inconnues qu’il n’y a d’équations données ou renfermées dans la question, le problème est indéterminé, & peut avoir une infinité de solutions. Quand les équations ne sont pas expressément contenues dans le problème, on les trouve par le moyen des théorèmes sur l’égalité des grandeurs. Voyez Egal.

2°. Si les équations données ou renfermées dans le problème sont précisément en même nombre que les quantités inconnues, le problème est déterminé, c’est-à-dire n’admet qu’un nombre de solutions limité.

3°. S’il y a moins d’inconnues que d’équations, le problème est plus que déterminé, & on découvre quelquefois qu’il est impossible par les contradictions qui se trouvent dans les équations. Voyez Déterminé.

Maintenant, pour mettre une question en équation, c’est-à-dire pour la réduire en différentes équations médiates par le moyen desquelles on puisse parvenir à une équation finale, la principale chose à laquelle on doit faire attention, c’est d’exprimer toutes les conditions de la question par autant d’équations. Pour y parvenir, il faut examiner si les propositions ou mots dans lesquels la question est exprimée, peuvent être rendus par des termes algébriques, comme nous rendons nos idées ordinaires en caracteres grecs, latins ou françois, &c. Si cela est ainsi, comme il arrive généralement ; dans toutes les questions que l’on fait sur les nombres ou sur les quantités abstraites, en ce cas il faut donner des noms aux quantités inconnues & connues, autant que la question le demande, & traduire ainsi en langage algébrique le sens de la question. Ces conditions ainsi traduites donneront autant d’équations que le problème peut en fournir. On a déjà donné au mot Arithmétique universelle un exemple de cette traduction d’une question en langage algébrique.

Donnons encore un autre exemple. Un marchand augmente tous les ans son bien d’un tiers, en ôtant 100 liv. qu’il dépense par an dans sa famille, au bout de trois ans il trouve son bien doublé. On demande combien ce marchand avoit de bien au commencement de ces trois ans. Pour résoudre cette question, il faut bien prendre garde aux différentes propositions qu’elle renferme, & qui fourniront les équations suivantes.

En langage ordinaire un marchand a un bien dont il dépense la premiere année 100 liv.
Algébriquement



Et augmente le reste d’un tiers ou
La seconde année il dépense 100 liv. ou
Et augmente le reste d’un tiers ou
La troisieme année il dépense 100 liv. ou
Et augmente le reste d’un tiers ou
Et au bout des trois ans il est deux fois plus riche qu’il n’étoit.

La question se réduit donc à résoudre cette équation , par le moyen de laquelle on trouvera la valeur de x de la maniere suivante.

On multipliera l’équation par 27, & on aura  ; on ôtera de part & d’autre , & on aura , ou  ; divisant par 10, il viendra . Ainsi ce marchand avoit 1480 liv. de bien.

Il résulte de ce que nous venons de dire, que pour résoudre les questions qu’on propose sur les nombres ou sur les quantités abstraites, il ne faut presque que les traduire du langage ordinaire en langage algébrique, c’est-à-dire en caracteres propres à exprimer nos idées sur les rapports des quantités. Il est vrai qu’il peut arriver quelquefois que le discours dans lequel l’équation est proposée, ne puisse être rendu algebriquement ; mais en y faisant quelques petits changemens, & ayant principalement égard au sens, plûtôt qu’aux mots, la traduction deviendra assez facile ; la difficulté qui peut se rencontrer dans cette traduction vient uniquement de la différence des idiomes, comme dans les traductions ordinaires. Cependant pour faciliter la solution de ces sortes de problemes, nous allons en donner un exemple ou deux.

1°. Etant donné la somme de deux nombres a, & la différence de leurs quarrés b, trouver les nombres ; supposons que le plus petit de ces nombres soit x, l’autre sera , & les quarrés seront xx, & , dont la différence est , qui doit être égale à b ; donc  ; donc & .

Supposons, par exemple, que la somme des nombres ou la quantité a soit = 8, & que la différence des quarrés soit 16, alors ou sera , & on aura  ; donc les nombres cherchés sont 3 & 5. Voyez Diophante.

2°. Trouver trois quantités x, y, z, dont on connoisse la somme, étant prises deux à deux. Supposons que la somme de x & de y soit a, que celle de x & de z soit b, & que celle de y & de z soit c, on aura les trois équations , ,  ; pour chasser maintenant deux des trois quantités x, y, z, par exemple, z & y, on aura par la premiere & par la seconde équation &  ; on substituera dans la troisieme équation ces valeurs au lieu de y & de z, & l’on aura , &  ; x étant trouvée, on aura y & z par le moyen des équations & .

Par exemple, si la somme de x & de y est 9, celle de x & de z, 10, & celle de y & de z, 13 ; dans les valeurs de x, y & z, on écrira 9 pour a, 10 pour b, & 13 pour c, & on aura , par conséquent x ou  ; y ou & z ou .

3°. Diviser une quantité donnée en un nombre quelconque de parties, telles que les différences des plus grandes sur les plus petites, soient égales à des quantités données. Supposons que a soit une quantité que l’on propose de diviser en quatre parties, telles que la premiere & la plus petite soit x ; que l’excès de la seconde sur la premiere soit b, celui de la troisieme soit c, & celui de la quatrieme d, sera la seconde partie, la troisieme, la quatrieme ; & la somme de toutes ces parties sera égale à a. Retranchant de part & d’autre, on aura & .

Imaginons, par exemple, qu’on propose de diviser une ligne de vingt piés en quatre parties, de maniere que l’excès de la seconde partie sur la premiere soit de 2 piés, celui de la troisieme de 3 piés, & celui de la quatrieme de 7 piés, on aura x ou , , , & . On peut se servir de la même méthode pour diviser une quantité donnée en un nombre quelconque de parties avec des conditions pareilles.

4°. Une personne voulant distribuer trois sous à un certain nombre de pauvres, trouve qu’il lui manque huit sous ; ainsi elle ne leur donne à chacun que deux sous, & elle a trois sous de reste. On demande combien cette personne avoit d’argent, & combien il y avoit de pauvres ? Soit x le nombre des pauvres ; & comme il s’en faut huit sous qu’ils ne puissent avoir trois sous chacun, l’argent est donc , dont il faut ôter 2x, & il doit rester 3 ; donc ou .

5°. Le pouvoir ou l’intensité d’un agent étant donnés, déterminer combien il faut d’agens semblables pour produire un effet donné a dans un tems donné b. Supposons que l’agent puisse produire dans le tems d l’effet c, on dira comme le tems d est au tems b, ainsi l’effet c que l’agent peut produire dans le tems d, est à l’effet qu’il peut produire dans le tems b, qui sera par conséquent . Ensuite on dira, comme l’effet est à l’effet a, ainsi un des agens est à tous les agens ; donc le nombre des agens sera Regle de trois.

Par exemple, si un clerc ou secrétaire transcrit quinze feuilles en huit jours de tems, on demande combien il faudra de clercs pour transcrire 405 feuilles en neuf jours ? Rép. 24. Car si on substitue 8 pour d, 15 pour c, 405 pour a, & 9 pour b, le nombre deviendra , c’est-à-dire ou 24.

6°. Les puissances de différens agens étant données, déterminer le tems x dans lequel ils produiroient un effet donné d, étant jointes ensemble. Supposons que les puissances des agens A, B, C, soient telles que dans les tems e, f, g, ils produisent les effets a, b, c, ces agens dans le tems x produiront les effets , , , on aura donc , & .

Imaginons, par exemple, que trois ouvriers finissent un certain ouvrage en différens tems. Par exemple, A une fois en trois semaines, B trois fois en huit semaines, & c cinq fois en douze semaines, on demande combien il leur faudra de tems pour finir le même ouvrage, en y travaillant tous ensemble ; les puissances des agens sont telles que dans les tems 3, 8, 12, ils produisent les effets 1, 3, 5, & on veut savoir en combien de tems ils produiroient l’effet 1, étant réunis. Au lieu de a, b, c, d, e, f, g, on écrira 1, 3, 5, 1, 3, 8, 12, & il viendra ou de semaine, c’est-à-dire six jours cinq heures & d’heure pour le tems qu’ils mettroient à finir l’ouvrage proposé.

7°. Etant données les pesanteurs spécifiques de plusieurs choses mêlées ensemble, & la pesanteur spécifique de leur mélange, trouver la proportion des ingrédiens dont le mélange est composé. Supposons que e soit la gravité spécifique du mélange A+B, a celle de A, & b celle de B ; comme la gravité absolue ou le poids d’un corps est en raison composée de son volume & de sa pesanteur spécifique (voy. Densité) aA sera le poids de a, & bB celui de B, & sera  ; donc , & .

Supposons, par exemple, que la pesanteur spécifique de l’or soit 19, celle de l’argent 10 , & celle d’une couronne composée d’or & d’argent 17, on aura  ; ce sera le rapport du volume de l’or de la couronne au volume de l’argent : &  ; ce sera le rapport du poids de l’or de la couronne au poids de l’argent : enfin 221 :31, comme le poids de la couronne est au poids de l’argent. Voyez Alliage.

Pour réduire en équations les problèmes géométriques, on remarquera d’abord que les questions géométriques ou celles qui ont pour objet la quantité continue, se mettent en équations de la même maniere que les questions arithmétiques. Ainsi la premiere regle que nous devons donner ici, est de suivre pour ces sortes de problèmes les mêmes regles que pour les problèmes numériques.

Supposons, par exemple, qu’on demande de couper une ligne droite AB (Planche d’Algeb. fig. 6.) en moyenne & extrème raison en C ; c’est-à-dire de trouver un point C, tel que BE quarré de la plus grande partie soit égal au rectangle BD fait de la ligne entiere & de sa plus petite partie.

Supposant & , on aura , & par  ; équation du second degré, qui étant résolue, comme on l’enseignera plus bas, donnera .

Mais il est rare que les problèmes géométriques se réduisent si facilement en équations ; leur solution dépend presque toûjours de différentes positions & relations de lignes : de sorte qu’il faut souvent un art particulier & de certaines regles pour traduire ces questions en langage algébrique. Il est vrai que ces regles sont fort difficiles à donner ; le génie est la meilleure & la plus sûre qu’on ait à suivre dans ces cas-là.

On peut cependant en donner quelques-unes, mais fort générales, pour aider ceux qui ne sont pas versés dans ces opérations : celles que nous allons donner sont principalement tirées de M. Newton.

Observons donc, 1°. que les problemes concernant les lignes qui doivent avoir un certain rapport les unes aux autres, peuvent être différemment envisagés, en supposant telles ou telles choses connues & données, & telles ou telles autres inconnues ; cependant quelles que soient les quantités que l’on prend pour connues & celles qu’on prend pour inconnues, les équations que l’on aura seront les mêmes quant au fond, & ne différeront entr’elles que par les noms qui serviront à distinguer les grandeurs connues d’avec les inconnues.

Supposons, par exemple, qu’on propose de comparer les côtés BC, BD, & la base CD (figure 7. d’Algebre) d’un triangle isoscele inscrit dans un cercle, avec le diametre de ce même cercle. On peut se proposer la question, ou en regardant le diametre comme donné, avec les côtés, & cherchant ensuite la base, ou en cherchant le diametre par le moyen de la base & des côtés supposés donnés, ou enfin en cherchant les côtés par le moyen de la base & du diametre. Or sous quelque forme qu’on se propose ce problème, les équations qui serviront à le résoudre auront toûjours la même forme.

Ainsi, supposons que l’on cherche le diametre, on nommera AB, x, CD, a, & BC ou BD, b ; ensuite tirant AC, on remarquera que les triangles ABC & CBE sont semblables, & qu’ainsi AB:BC∷BC:BE, ou x:b∷b:BE ; donc & ou  ; & comme l’angle CEB est un angle droit, , c’est-à-dire . Cette équation étant résolue donnera le diametre cherché x. Si c’est la base qu’on demande, on fera AB=c, CD=x, & BC ou BD=b ; ensuite on tirera AC, & les triangles semblables ABC & CBE donneront AB:BC∷BC:BE, ou c b∷b:BE.

Donc & ou  ; & comme l’angle CBE est droit, on aura  ; donc . D’où l’on tirera la valeur de la base cherchée x.

Enfin si les côtés BC & BD sont supposés inconnus, on fera AB=c, CO=a, & BC ou BD=x, on tirera ensuite AC ; & à cause des triangles semblables ABC & CBE, on aura AB:BC∷BC:BE ou c:x∷x:BE ; donc , ou , & l’angle droit CBE donnera , c’est-à-dire  ; équation qui étant résolue donnera la valeur x d’un des côtés cherchés.

On voit par-là que le calcul pour arriver à l’équation, & l’équation elle-même, sont semblables dans tous les cas, excepté que les mêmes lignes y sont désignées par des lettres différentes selon les données & les inconnues que l’on suppose. Il est vrai que la différence des données fait que la résolution des équations est différente ; mais elle ne produit point de changement dans l’équation même. Ainsi on n’est point absolument obligé de prendre telle ou telle quantité pour inconnue ; mais on est le maître de choisir pour données & pour inconnues les quantités qu’on croit les plus propres à faciliter la solution de la question.

3°. Un problème étant donc proposé, il faut commencer par comparer entr’elles les quantités qu’il renferme, & sans faire aucune distinction entre les connues & les inconnues, examiner le rapport qu’elles ont ensemble, afin de connoître quelles sont celles d’entr’elles qui peuvent faire trouver plus facilement les autres. Dans cet examen il n’est pas nécessaire de s’assûrer par un calcul algébrique exprès, que telles ou telles quantités peuvent être déduites de telles ou telles autres ; il suffit de remarquer en général qu’on peut les en tirer par le moyen de quelque connexion directe qui est entr’elles.

Par exemple, si on donne un cercle dont le diametre soit AD (fig. 8. algébr.) & dans lequel soient inscrites trois lignes AB, BC, CD, desquelles on demande BC, les autres étant connues, il est évident au premier coup-d’œil que le diametre AD détermine le demi-cercle, & que les lignes AB & CD, qu’on suppose inscrites dans le cercle, déterminent aussi les points B & C, & que par conséquent la ligne cherchée BC a une connexion directe avec les lignes données. Voilà dequoi il suffit de s’assûrer d’abord, sans examiner par quel calcul analytique la valeur de la ligne BC peut être réellement déduite de la valeur des trois lignes données.

4°. Après avoir examiné les différentes manieres dont on peut composer & décomposer les termes de la question, il faut se servir de quelque méthode synthétique, en prenant pour données certaines lignes, par le moyen desquelles on puisse arriver à la connoissance des autres, de maniere que le retour de celles-ci aux premieres soit plus difficile ; car quoiqu’on puisse suivre dans le calcul différentes routes, cependant il faut le commencer par bien choisir ses données ; & une question est souvent plus facile à résoudre, en choisissant des données qui rendent les inconnues plus faciles à trouver, qu’en considérant le problème sous la forme actuelle sous laquelle il est proposé.

Ainsi, dans l’exemple que nous venons de donner, si on propose de trouver AD, les trois autres lignes étant connues, je vois d’abord que ce problème est difficile à résoudre synthétiquement ; mais que cependant s’il étoit ainsi résolu, je pourrois facilement appercevoir la connexion directe qui est entre cette ligne & les autres. Je prends donc AD pour donnée, & je commence à faire mon calcul comme si elle étoit en effet connue, & que quelqu’une des autres quantités AB, BC ou CD, fût inconnue ; combinant ensuite les quantités données avec les autres, j’aurai toûjours une équation en comparant entr’elles deux valeurs de la même quantité : soit que l’une de ces valeurs soit une lettre par laquelle cette quantité aura été marquée, en commençant le calcul ; & l’autre, une expression de cette quantité qu’on aura trouvée par le calcul même, soit que les deux valeurs ayent été trouvées chacune par deux différens calculs.

5°. Ayant ainsi comparé en général les termes de la question entr’eux, il faut encore de l’art & de l’adresse pour trouver parmi les connexions ou relations particulieres des lignes, celles qui sont les plus propres pour le calcul ; car il arrive souvent que tel rapport qui paroît facile à exprimer algébriquement, quand on l’envisage au premier coup-d’œil, ne peut être trouvé que par un long circuit ; de maniere qu’on est quelquefois obligé de recommencer une nouvelle figure, & de faire son calcul pas-à-pas, comme on pourra s’en assûrer en cherchant BC par le moyen de AD, AB & CD. Car on ne peut y parvenir que par des propositions dont l’énoncé soit tel, qu’elles puissent être rendues en langage algébrique, & dont quelques-unes peuvent se tirer d’Euclide. Ax. 19. proposit. 4. L. VI. & proposit. 47. L. I. element.

Pour parvenir plus aisément à connoître les rapports des lignes qui entrent dans une figure, on peut employer différens moyens : en premier lieu, l’addition & la soustraction des lignes ; car par les valeurs des parties on peut trouver celles du tout, ou par la valeur du tout & par celle d’une des parties, on peut connoître la valeur de l’autre partie : en second lieu, par la proportionnalité des lignes ; car, comme nous l’avons déjà supposé dans quelques exemples ci-dessus, le rectangle des termes moyens d’une proportion, divisé par un des extrèmes, donne l’autre, ou ce qui est la même chose, si les valeurs de quatre quantités sont en proportion, le produit des extrèmes est égal au produit des moyens. Voyez Proportion. La meilleure maniere de trouver la proportionnalité des lignes, est de se servir des triangles semblables ; & comme la similitude des triangles se connoît par l’égalité de leurs angles, l’analyste doit principalement se rendre ce point familier. Pour cela il doit posséder les proposit. 5, 13, 15, 29. 32 du premier livre d’Euclide ; les proposit. 4, 5, 6, 7, 8, du livre VI. & les 20, 21, 22, 27 & 31 du livre III. On peut y ajoûter la troisieme proposit. du livre VI. ou les proposit. 35 & 36 du livre III. Troisiemement, on fait aussi beaucoup d’usage de l’addition & de la soustraction des quarrés, sur-tout lorsqu’il se trouve des triangles rectangles dans la figure. On ajoûte ensemble les quarrés des deux petits côtés pour avoir le quarré du grand, ou du quarré du plus grand côté on ôte le quarré d’un des côtés, pour avoir le quarré de l’autre. C’est sur ce petit nombre de principes qu’est établi tout l’art analytique, au moins pour ce qui regarde la géométrie rectiligne, en y ajoûtant seulement la proposit. 1re du VI. livre d’Euclide, lorsque la question proposée regarde des surfaces, & aussi quelques propositions des XI. & XII. livres. En effet toutes les difficultés des problèmes de la géométrie rectiligne peuvent se réduire à la seule composition des lignes & à la similitude des triangles ; de sorte qu’il ne se rencontre jamais d’occasion de faire usage d’autres théorèmes, parce que tous les autres théorèmes dont on pourroit se servir, peuvent se réduire à ces deux-là, & que par conséquent ces derniers peuvent leur être substitués dans quelque solution que ce puisse être.

6°. Pour accommoder ces théorèmes à la construction des problèmes, il est souvent nécessaire d’augmenter la figure, soit en prolongeant certaines lignes jusqu’à ce qu’elles en coupent d’autres, ou qu’elles deviennent d’une certaine longueur ; soit en tirant des paralleles ou des perpendiculaires de quelque point remarquable ; soit en joignant quelques points remarquables ; soit enfin comme cela arrive quelquefois, en construisant une nouvelle figure suivant d’autres méthodes, selon que le demandent les problèmes & les théorèmes dont on veut faire usage pour la résoudre.

Par exemple, si deux lignes qui ne se rencontrent point l’une & l’autre, font des angles donnés avec une certaine autre ligne, on peut les prolonger jusqu’à ce qu’elles se rencontrent ; de maniere qu’on aura un triangle dont on connoîtra tous les angles, & par conséquent le rapport des côtés ; ou bien si un angle est donné, ou doit être égal à un angle quelconque, souvent on peut completer la figure, & en former un triangle donné d’espece, ou semblable à quelqu’autre : ce qui se fait, soit en prolongeant quelques-unes des lignes de la figure, soit en tirant une ligne qui soustende un angle. Si un triangle proposé est obliquangle, souvent on le résoud en deux triangles rectangles, en abaissant une perpendiculaire d’un des angles sur le côté opposé. Si la question regarde des figures de plusieurs côtés, on les résoud en triangles par des lignes diagonales, & ainsi des autres : mais il faut toûjours avoir attention que par ces divisions la figure se trouve partagée, on en triangles donnés, ou en triangles semblables, ou en triangles rectangles

Ainsi, dans l’exemple proposé, on tirera la diagonale BD, afin que le trapèse ABCD puisse se résoudre en deux triangles, l’un rectangle ABD, & l’autre obliquangle BCD (fig. 8.). On résoudra ensuite le triangle obliquangle en deux triangles rectangles, en abaissant une perpendiculaire de quelqu’un des angles B, C, D, sur le côté opposé ; par exemple, du point B sur la ligne CD, qu’on prolongera en E, afin que BE puisse la rencontrer perpendiculairement. Or comme les angles BAD & BCD pris ensemble font deux droits (par la prop. 22 du III. Eucl.), aussi-bien que BCE & BCD, il s’ensuit que les angles BAD & BCE sont égaux ; par conséquent les triangles BCE & DAB sont semblables. Ainsi prenant AD, AB & BC pour données, & cherchant CD, on peut faire le calcul de la maniere suivante. AD & AB donnent BD à cause du triangle rectangle ABD. AD, AB, BD BC, à cause des triangles semblables ABD & CEB, donnent BE & CE. BD & BE donnent ED, à cause du triangle rectangle BED, & ED−EC donne CD. Ainsi on aura une équation entre la valeur de la ligne CD trouvée par ce calcul, & la valeur de cette même ligne exprimée par une lettre algébrique. On peut aussi (& souvent il vaut mieux suivre cette méthode, que de pousser trop loin un seul & même calcul) ; on peut, dis-je, commencer le calcul par différens principes, ou au moins le continuer par diverses méthodes, pour arriver à une seule & même conclusion, afin de pouvoir trouver deux valeurs différemment exprimées de la même quantité, lesquelles valeurs puissent être ensuite faites égales l’une à l’autre. Ainsi AD, AB & BC, donnent BD, BE & CE, comme ci-devant, ensuite CD+CE donne ED, enfin DB & ED donnent BE, à cause du triangle rectangle BED.

7°. Ayant choisi & déterminé la méthode suivant laquelle on doit procéder, & fait sa figure, on donne d’abord des noms aux quantités qui doivent entrer dans le calcul, c’est-à-dire desquelles on doit tirer la valeur des autres jusqu’à ce qu’on arrive à une équation ; pour cela on aura soin de choisir celles qui renferment toutes les conditions du problème, & qui paroissent, autant qu’on peut en juger, les plus propres à rendre la conclusion simple & facile, de maniere cependant qu’elle ne soit pas plus simple que le sujet & le dessein du calculateur ne le demandent. Ainsi il ne faut point donner de nouveaux noms aux quantités dont on peut exprimer la valeur par celle des quantités à qui on a déjà donné des noms. Par exemple, si une ligne donnée est divisée en parties, ou si on a un triangle rectangle, on doit laisser sans nom quelqu’une des parties de la ligne ou toute la ligne entiere, ou un des côtés du triangle, parce que les valeurs de ces quantités peuvent se déduire de la valeur des données, comme dans l’exemple déjà proposé. Si on fait AD=x & BA=a, on ne marquera BD par aucune lettre, parce qu’elle est le troisieme côté du triangle rectangle ABD, & que par conséquent sa valeur est . Si on nomme ensuite BC, b, on verra que les triangles semblables DAB & BCE donnent AD : AB ∷ BC : CE. Or de ces quatre lignes les trois premieres sont déjà données ; ainsi on ne donnera point de nom à la quatrieme CE, dont la valeur se trouvera être par le moyen de la proportion précédente. Si donc on nomme DC, c, on ne donnera point de nom à DE, parce que ses parties DC & CE, étant l’une c, l’autre , leur somme est la valeur de DE.

8°. Par les différentes opérations qu’on fait pour exprimer les lignes auxquelles on n’a point donné de noms, le problème est déjà presque réduit à une équation ; car après qu’on a exprimé ainsi les différentes lignes qui doivent entrer dans la solution de la question proposée, il ne faut plus que faire attention aux conditions du problème, pour découvrir une équation.

Par exemple, dans le problème dont nous avons déjà parlé, il ne faut que trouver par le moyen des triangles rectangles BCE & BDE, deux valeurs de BE ; en effet on aura ou & , ou . Egalant ensemble ces deux valeurs de , & ôtant , on aura l’équation , qui délivrée des fraction, donne .

9°. A l’égard de la géométrie des lignes courbes, on a coûtume de déterminer ces lignes, ou en les supposant décrites par le mouvement local de quelques lignes droites, ou en les représentant par des équations qui expriment indéfiniment le rapport de certaines lignes droites disposées entr’elles dans un certain ordre & suivant une certaine loi, & terminées à la courbe par une de leurs extrémités. Voyez Courbe & Lieu.

Les anciens déterminoient les courbes, ou par le mouvement continu de quelque point, ou par les sections des solides, mais moins commodément qu’on ne les détermine par la seconde des deux manieres dont nous venons de parler. Les calculs qui regardent les courbes, lorsqu’on les décrit de la premiere maniere, se font par une méthode semblable à celle que nous avons donnée jusqu’ici. Supposons, par exemple, que AKC (fig. 9.) soit une ligne courbe décrite par le point vertical K d’un angle droit AKφ, dont un côté AK puisse se mouvoir librement, en passant toûjours par le point A donné de position, tandis que l’autre côté Kφ d’une longueur déterminée coule ou glisse le long d’une ligne droite AD, aussi donnée de position. On demande de trouver le point C, dans lequel une ligne droite CD aussi donnée de position doit couper cette courbe : pour cela on tirera les lignes AC, CF, qui peuvent représenter l’angle droit dans la position qu’on cherche ; on menera la perpendiculaire CB sur AF ; on s’appliquera ensuite à trouver le rapport des lignes, sans examiner celles qui sont données ou celles qui ne le sont pas, & on verra que toutes dépendent de CF, & de l’une des quatre lignes BC, BF, AF & AC ; supposant donc CF=a, & CB=x, on aura d’abord , &  ; car à cause des triangles rectangles ACF, CBF, on a BF : BC ∷ BC : AB. De plus, comme CD est donnée de position, AD est donnée ; ainsi on apellera AD, b ; on connoît aussi la raison de BC à BD, qu’on supposera comme d à e, & on aura &  : donc . Si on quarre les deux membres de cette équation, & qu’on les multiplie ensuite par , on réduira l’équation à cette forme  ; & par le moyen des quantités données a, b, d, e, on tirera de cette équation la valeur de x. Cette valeur de x ou de BC étant connue, on tirera à la distance BC une ligne droite parallele à AD, qui coupera la courbe, & CD au point cherché C.

Si, au lieu de descriptions géométriques, on se sert d’équations pour désigner les lignes courbes, les calculs deviendront encore plus simples & plus faciles, puisqu’on aura moins d’équations à trouver ; ainsi supposons que l’on cherche le point d’intersection C de l’ellipse donnée ACE (fig. 10.) avec la ligne droite CD donnée de position ; pour désigner l’ellipse, on prendra une des équation ; qui la déterminent, comme , dans laquelle x marque une partie indéterminée AB ou Ab de l’axe prise depuis le sommet A, & y une perpendiculaire BC, terminée à la courbe, & où r & q sont données par l’espece donnée de l’ellipse. Or, puisque CD est donnée de position, AD sera aussi donnée ; on la nommera A, & BD sera  ; l’angle ABC sera aussi donné, & par conséquent le rapport de BD à BC, qu’on supposera être celui de 1 à e ; & BC(y) sera , dont le quarré doit être égal à . Cette équation étant réduite, donnera ou .


On remarquera que lors même que l’on détermine les courbes par des descriptions géométriques ou par des sections de solides, on peut toûjours les désigner par des équations, & que par conséquent toutes les difficultés des problèmes qu’on peut proposer sur les courbes, se réduisent au cas où on envisageroit les courbes sous ce dernier point de vûe. Ainsi dans le premier exemple (fig. 9.), si AB est appellé x, & BC, y, la troisieme proportionnelle BF sera , dont le quarré joint au quarré BC est égal à , c’est-à-dire que ou . Par cette équation on peut déterminer tous les points C de la courbe AKC, en trouvant la longueur de chaque ligne BC qui répond à chaque partie de l’axe AB ; & cette équation peut être fort utile dans la solution des problèmes qu’on aura à résoudre sur cette courbe.

Quand une courbe n’est point donnée d’espece, mais qu’on propose de la déterminer, on peut supposer une équation à volonté qui exprime sa nature d’une maniere générale ; on prendra cette équation pour la véritable équation de la courbe, afin de pouvoir par ce moyen arriver à des équations, par le moyen desquelles on déterminera la valeur des quantités qu’on a prises pour données.

Jusqu’ici nous n’avons fait que traduire l’article équation à-peu-près tel qu’il se trouve dans l’Encyclopédie angloise. Cet article est tiré presque en entier de l’Arithmétique universelle de M. Newton ; il est aisé d’y reconnoître en effet la main d’un grand maître, & nous avons crû devoir le donner tel qu’il est par cette raison, l’Arithmétique universelle n’ayant point d’ailleurs été traduite jusqu’ici en notre langue. Mais il reste encore sur la théorie des équations beaucoup de choses à dire pour rendre cet article complet dans un ouvrage tel que l’Encyclopédie. Nous allons tâcher de satisfaire à cet objet ; & quoique la matiere ait déjà été fort maniée dans un grand nombre d’ouvrages, nous espérons montrer qu’elle a été traités d’une maniere insuffisante à plusieurs égards, & la présenter d’une maniere presque entierement nouvelle.

Je ne parlerai point ici de la maniere de préparer une équation, en faisant évanoüir les fractions, les radicaux, & toutes les inconnues, excepté une seule, &c. Ces opérations seront détaillées au mot Evanouir.

Je ne parlerai point non plus de l’abaissement des équations. Voyez Abaissement & Réduction.

Je ne parlerai point enfin des équations du premier degré, c’est-à-dire de celles où l’inconnue ne monte qu’à une dimension : leur solution est sans difficulté. V. Transposition. J’entrerai donc en matiere par les équations d’un degré plus élevé que l’unité ; je les suppose abaissées au plus petit degré possible, & délivrés de radicaux & de fractions, enfin ordonnées suivant les dimensions de l’inconnue x, c’est-à-dire de maniere que le premier terme contienne x élevée au plus haut degré, que le second terme contienne x élevée au plus haut degré suivant, & ainsi de suite jusqu’au dernier terme, qui ne contiendra point x ; je suppose enfin que le premier terme n’ait d’autre coefficient que l’unité (nous enseignerons au mot Transformation cette maniere de préparer l’équation), & que le second membre de l’équation soit zéro.

Soit donc , l’équation à résoudre, dans laquelle il faut trouver la valeur de x.

Il est évident, par l’énoncé même de la question, qu’il faut trouver une quantité a, positive ou négative, réelle ou imaginaire, qui étant substituée à la place de x dans &c. tout se détruise. Je suppose qu’on ait trouvé cette quantité a, je dis que la quantité (en faisant, si l’on veut, abstraction de son égalité à zéro, & en la regardant comme une quantité algébrique réelle) sera divisible exactement par . Car il est évident, 1°. que x ne montant qu’au premier degré dans le diviseur, on pourra par les regles de la division algébrique ordinaire (voyez Division), pousser l’opération jusqu’à ce qu’on arrive à un reste que j’appelle R, & dans lequel x ne se trouvera pas. Soit donc Q le quotient, il est évident que si au produit du quotient Q par le diviseur , on ajoûte le reste R, on aura une quantité égale & identique au dividende. Or, en faisant dans le dividende , tout s’évanoüit par l’hypothese ; donc tout doit s’évanoüir aussi, en faisant dans la quantité , & cette quantité doit alors se réduire à zéro ; mais en faisant , cette quantité est . Donc, puisque , on a . Donc la division se fait sans reste. Donc se divise exactement par .

Je fais un raisonnement semblable sur le quotient provenu de la division : je suppose que b substitué à la place de x, fasse évanoüir tous les termes de ce quotient, je dis qu’il est divisible par  ; & il est évident que si b substitué à la place de x, fait évanoüir le quotient Q, il fera évanoüir aussi le dividende : car le dividende est ; donc toute supposition qui réduira Q à zéro, y réduira aussi le dividende. Donc divise aussi exactement le dividende.

On trouvera de même, qu’en supposant une quantité c, qui substituée à la place de x, fasse évanoüir le quotient de Q divisé par , ce nouveau quotient, & par conséquent le dividende, sera divisible par .

Ainsi on aura autant de quantités simples , qu’il y a d’unités dans m, lesquelles quantités simples donneront par leur multiplication le dividende ou équation proposée.

On pourra donc, au lieu de l’équation donnée, supposer  : mais il faut bien se garder d’en conclure, comme font tous les auteurs d’Algebre, qu’on aura , &c. car, pourra dire un commençant, comment se peut-il faire qu’une même quantité x soit égale à plusieurs grandeurs différentes a, b, c ? Si vous dites que x, dans ces équations, ne désigne qu’en apparence la même grandeur, & désigne en effet des grandeurs différentes, en ce cas vous vous rejettez dans une autre difficulté ; car si cela étoit, dans une équation du second degré, par exemple, comme ne seroit plus un quarré, cependant tous les Algébristes le traitent comme tel ? Voici la réponse à cette difficulté, qui, comme je le sai par expérience, peut embarrasser bien des commençans. La quantité proposée est le produit de par , par , &c. Or la quantité proposée est supposée égale à zéro, & quand une quantité est égale à zéro, il faut qu’un de ses facteurs le soit ; ainsi la quantité ou équation proposée est le produit de par & par , &c. ou de par & par , &c. ou de par & par , &c. Dans chacun de ces cas on ne suppose à la fois qu’une des équations partielles égale à zéro ; x est la même quantité dans chacun des cas, & elle est différente dans les différens cas. Ainsi est par , ou par  ; cette équation représente ces deux-ci ; l’une (en mettant a pour x), & l’autre (en mettant b pour x).

Dans l’un des cas, x & ses puissances représentent a & ses puissances ; dans l’autre, x & ses puissances représentent b & ses puissances. Ainsi une équation d’un degré quelconque représente réellement autant d’équations particulieres qu’il y a d’unités dans son degré ; équations dans chacune desquelles x a une valeur différente. Poursuivons & approfondissons cette matiere, qui, je le répete, est fort mal développée par-tout.

La démonstration précédente, dira-t-on, suppose qu’il y a toûjours une quantité a possible, qui substituée à la place de x dans une quantité algébrique, , &c. fera évanoüir tous les termes. Sans doute : mais cette supposition est légitime. J’ai démontré le premier, Mém. de l’ac. de Berlin, 1746, qu’il y avoit toûjours en effet une telle quantité, laquelle sera ou réelle, ou égale à , m & n étant réelles, & m pouvant être =0. Cette proposition fondamentale de l’Algebre & même du calcul intégral (Voyez Fraction rationnelle & Intégral) n’avoit été démontrée par personne avant moi : j’y renvoye le lecteur, il la trouvera encore plus développée, & mise à la portée des commençans dans le traité du calcul intégral de M. de Bougainville le jeune, premiere partie. Voyez Imaginaire.

De-là il s’ensuit qu’une équation est le produit d’autant de quantités simples, , &c qu’il y a d’unités dans le degré de l’équation ; quelques-unes des quantités a, b, c, ou toutes, peuvent marquer des quantités réelles, égales ou inégales, imaginaires simples comme , ou mixtes imaginaires comme .

On remarquera maintenant que le produit de par ne peut être égal à un autre produit par  ; car si cela étoit, on auroit . Il faudroit donc ou que fût divisible exactement par , ainsi que par , ce qui ne se peut, ou que & eussent un diviseur commun, ainsi que & , ce qui ne se peut encore. Tout cela est évident par soi-même.

Donc une quantité quelconque , où x monte au second degré, ne peut être le produit que de deux facteurs simples , & il ne peut y en avoir d’autres que ces deux-là. Donc dans une équation du second degré, x ne peut avoir que deux valeurs différentes a, b, & jamais davantage. C’est une suite des propositions précédentes.

De même on ne sauroit supposer par par , égal à par par  ; car on auroit . Donc les dénominateurs de ces fractions devroient avoir un diviseur commun, & par conséquent aussi leurs numérateurs , ce qui ne se peut Donc dans une équation du troisieme degré, & par la même raison dans toute équation, l’inconnue ne peut avoir qu’autant de valeurs, soit réelles, soit imaginaires, qu’il y a d’unités dans le degré de l’équation. Voilà encore une proposition qu’aucun auteur n’avoit suffisamment prouvée. On appelle racines, les différentes valeurs de l’inconnue. Voyez Racine.

Il pourroit se présenter aux commençans une difficulté sur la démonstration précédente. Soit, diront-ils, , & , on aura  ; on peut donc avoir, continueront-ils, . La réponse à cette objection est bien simple ; il est vrai qu’il peut y avoir des cas où, en donnant à x une certaine valeur, on ait  ; mais il faudroit, pour renverser la démonstration précédente, que quelque valeur qu’on donnât à x, on eût toûjours cette derniere équation, x marquant ici une quantité générale & indéterminée : or cela est impossible. En effet, si cela étoit, supposons , on auroit donc, à cause de l’égalité supposée, , c’est-à-dire  ; ce qui ne se peut, puisque c & e sont différentes de a & de b. De-là on tire une autre démonstration de la proposition dont il s’agit, & qu’on peut appliquer aux degrés plus composés ; par exemple, si pouvoit être égal à , on auroit , ce qui ne se peut ; & ainsi du reste.

Je passe un grand nombre de propositions qu’on trouvera suffisamment démontrées par-tout, par exemple celles qui sont indiquées au mot Coefficient : c’est principalement à des choses nouvelles, ou du moins présentées d’une maniere nouvelle & rigoureuse, que je destine cet article. J’observerai seulement que les propositions connues sur les coefficiens des équations, servent quelquefois à démontrer d’une maniere simple & élégante des propositions de Géométrie ; M. de l’Hopital, dans le liv. X. de ses sections coniques, s’en est heureusement servi pour démontrer certaines propriétés des cordes du cercle.

Si une des racines de l’équation est un nombre entier a, positif ou négatif, ce nombre a sera un des diviseurs du dernier terme r ; car on a , donc , donc . Or le premier membre de cette équation est un entier, puisqu’il est composé d’entiers ; donc est un entier, donc a est un des diviseurs de r. La démonstration ordinaire de cette proposition me paroît sujette à difficulté ; c’est par cette raison que j’en ai substitué une autre.

Si toutes les racines d’une équation sont réelles, & que tous les termes de l’équation ayent le signe +, toutes ces racines seront négatives ; car, puisque tous les termes ont le signe +, il est évident qu’il ne peut y avoir de quantité positive, qui étant substituée à la place de x, rende l’équation égale à zéro.

Dans une équation, les racines imaginaires vont toûjours deux à deux ; ensorte que si est racine d’une équation, en sera une autre. J’ai démontré le premier cette proposition dans les mém. de l’acad. de Berlin 1746. Voyez aussi l’ouvrage de M. de Bougainville déjà cité, & l’art. Imaginaire.

Donc puisque les racines imaginaires sont toûjours en nombre pair, il s’ensuit que dans les équations d’un degré impair il y a du moins une racine réelle ; ce qu’on peut encore démontrer en cette sorte. Soit, par exemple, , en donnant à x toutes les valeurs positives possibles depuis 0 jusqu’à l’infini, on a toûjours un résultat réel, & ce résultat devient infini & positif quand , c’est-à-dire  ; de même en donnant à x toutes les valeurs négatives possibles depuis 0 jusqu’à l’infini, on aura toûjours un résultat réel, & le dernier résultat est infini & négatif quand , c’est-à-dire  ; donc puisqu’on a une suite de résultats tous réels & sans interruption, dont les deux extrèmes sont de différens signes, il s’ensuit qu’il y a un de ces résultats égal à zéro. Donc il y a une valeur réelle de x qui rend . Donc x a au moins une valeur réelle dans cette équation. Il en est de même des autres cas.

Dans une équation délivrée de fractions, & dont le premier terme n’a d’autre coefficient que l’unité, la racine ne sauroit être une fraction , dont le dénominateur & le numérateur soient des nombres entiers & rationnels. Voilà encore une proposition bien mal prouvée dans presque tous les auteurs. En voici une meilleure démonstration. Soit  ; & supposons que soit racine de l’équation, on aura donc , & . Donc, suivant la théorie des équations donnée ci-dessus, le nombre entier a doit être diviseur du dernier terme  ; or comme a & b n’ont aucun diviseur commun, car la fraction est supposée, comme de raison, réduite à ses moindres termes (Voy. Diviseur, Fraction, & l’addition à l’article Diviseur dans l’errata de ce volume), il s’ensuit que a & b3 n’ont aucun diviseur commun : donc a doit être diviseur de r ; donc r=na, n étant un nombre entier. Donc on aura  ; donc . Donc, par la même raison que ci-dessus, a doit être un diviseur du dernier terme , & par conséquent de  ; donc  ; donc  ; donc  ; donc . Donc n’étoit point une fraction, ce qui est contre l’hypothese. On démontrera de la même maniere dans tous les autres cas, la proposition dont il s’agit. Donc, &c.

Il est évident, par la nature de cette démonstration, qu’elle ne s’étend qu’aux fractions rationnelles. Une équation sans fractions & sans radicaux peut en effet avoir pour racines des fractions irrationnelles ; par exemple, , & une infinité d’autres.

Voyez au mot Transformation, ce qui regarde la maniere de transformer une équation en une autre, matiere qui n’a d’ailleurs aucune difficulté, & qui est assez bien traitée dans presque tous les Algébristes ; par exemple, dans l’Analyse démontré du P. Reyneau, &c.

On trouvera au mot Racine, le fameux théorème de Descartes sur les racines des équations, démontré par M. l’abbé de Gua dans les mém. de l’acad. de 1741, auxquels le lecteur peut avoir recours. Nous nous bornerons ici à quelques réflexions générales sur les racines des équations.

Les racines d’une équation sont les différentes valeurs de l’inconnue ; il semble donc qu’un problème doive avoir autant de solutions qu’une équation a de racines ; & cela est vrai en effet dans un certain sens, mais ceci a pourtant besoin d’une plus ample explication.

1°. Si on proposoit de trouver un nombre x, tel que le quarré de ce nombre plus 15 fût égal à 8 fois le nombre cherché, c’est-à-dire tel que fût =0, on trouveroit que cette équation auroit deux racines réelles & positives x=3, x=5 ; & en effet, le quarré de 3 qui est 9 augmenté de 15, donne 24 égal à 8 fois 3 ; & le quarré 25, augmenté de 15, donne 40, égal à 8 fois 5. Ainsi les deux racines de l’équation satisfont en ce cas au problème, sans rien changer à son énoncé. Il y a donc des cas où toutes les racines d’une équation résolvent chacune le problème dans le sens le plus direct & le plus immédiat que son énoncé présente.

2°. Si on proposoit de trouver un nombre x plus petit que 1, & tel que le quarré de fût égal à , on auroit , &  ; donc & . Voilà deux racines réelles & positives, cependant il n’y a proprement que la racine qui satisfasse au problème, car la racine donne , quantité négative. Or l’on suppose dans l’énoncé que x est plus petit que 1 ; pourquoi donc trouve-t-on une autre racine réelle & positive ? le voici. Si on eût proposé ce problème : trouver un nombre x plus grand que 1, & tel que , soit égal à , on auroit eu précisément la même équation que celle qui est donnée par la solution du problème précédent ; & en ce cas auroit été la vraie valeur de l’inconnue, ainsi l’équation représente réellement ces deux-ci, & , qui sont la traduction algébrique de deux questions, très-différentes dans leur énoncé. La premiere de ces questions a pour réponse , la seconde . Donc, quoique les racines d’une équation soient toutes deux réelles & positives, il ne s’ensuit pas toûjours qu’elles résolvent toutes exactement & rigoureusement la question ; mais elles la résolvent, en la présentant en deux sens différens, dont l’Algebre ne peut exprimer la différence ; par exemple, dans le cas dont il s’agit, l’énoncé devroit être : trouver une grandeur x telle que la retranchant de l’unité, ou retranchant l’unité d’elle, le quarré du reste soit égal à . La traduction algébrique du premier énoncé est par sa nature plus générale que ce premier énoncé ; c’est donc le second qu’il faut y substituer pour répondre à toute l’étendue de la traduction. Plusieurs algébristes regardent cette généralité comme une richesse de l’Algebre, qui, disent-ils, répond non seulement à ce qu’on lui demande, mais encore à ce qu’on ne lui demandoit pas, & qu’on ne songeoit pas à lui demander. Pour moi, je ne puis m’empêcher d’avoüer que cette richesse prétendue me paroît un inconvénient. Souvent il en résulte qu’une équation monte à un degré beaucoup plus haut qu’elle ne monteroit, si elle ne renfermoit que les seules racines propres à la vraie solution de la question, telle qu’elle est proposée. Il est vrai que cet inconvénient seroit beaucoup moindre, & seroit même en un sens une véritable richesse, si on avoit une méthode générale pour résoudre les équations de tous les degrés ; il ne s’agiroit plus que de démêler parmi les racines celles dont on auroit vraiment besoin : mais malheureusement on se trouve arrêté dès le troisieme degré. Il seroit donc à souhaiter, puisqu’on ne peut résoudre toute équation, qu’on pût au moins l’abaisser au degré de la question, c’est-à-dire à n’avoir qu’autant d’unités dans l’exposant de son degré que la question a de solutions vraies & directes, mais la nature de l’Algebre ne paroît pas le permettre.

3°. Si on proposoit de trouver un nombre x, tel que retranchant l’unité de ce nombre, le quarré du reste fût égal à quatre, on trouveroit , & . La premiere racine , qui est réelle & positive, résout la question ; à l’égard de , elle ne résout point la question proposée, elle résout celle-ci : trouver un nombre, auquel ajoûtant l’unité, le quarré de la somme soit égal à quatre. On voit que dans cet énoncé, ajoûter se trouve au lieu de retrancher, & somme au lieu de reste. En effet donne & , qui sont précisément les racines de l’équation précédente prises avec des signes contraires. D’où l’on voit que les racines négatives satisfont à la question, non telle qu’elle est proposée, mais avec de legers changemens qui consistent à ajoûter ce qu’on devoit retrancher, ou à retrancher ce qu’on devoit ajoûter. Le signe − qui précede ces racines indique une fausse supposition qui a été faite dans l’énoncé, d’addition au lieu de soustraction, &c. & ce signe − redresse cette fausse supposition. En veut-on un exemple plus simple ? qu’on propose de trouver un nombre x, qui étant ajoûté à 20, la somme soit égale à 10, on aura & , ce qui signifie qu’il falloit énoncer ainsi la question : trouver un nombre qui étant retranché de 20, le reste soit égal à 10, & ce nombre est 10.

4°. Si on proposoit cette question, trouver un nombre x, tel que, ajoûtant l’unité à ce nombre, le quarré du tout soit égal à , on auroit  : voilà deux racines négatives, ce qui signifie qu’il falloit changer ainsi la question ; trouver un nombre tel, que retranchant l’unité de ce nombre, s’il est plus grand, ou le retranchant de l’unité, s’il est plus petit, le quarré du reste soit égal à . C’est précisément le cas du n°. 1 précédent, dont les racines sont les mêmes que de ce cas-ci, avec des signes contraires.

5°. Tout nous prouve donc que les racines négatives ne sont destinées qu’à indiquer de fausses suppositions faites dans l’énoncé, & que le calcul redresse. C’est pour cela que les racines négatives ont été appellées fausses par plusieurs auteurs, & les racines positives, vraies, parce que les premieres ne satisfont, pour ainsi dire, qu’à un faux énoncé de la question. Au reste je dois encore remarquer ici que quand toutes les racines sont négatives, comme dans le cas précédent, l’inconvénient est leger ; ces racines négatives indiquent que la solution avoit un énoncé absolument faux : redressez l’énoncé, toutes les racines deviendront positives. Mais quand elles sont en partie positives, & en partie négatives, l’inconvénient que cause la solution algébrique est, ce me semble, alors plus grand ; elles indiquent que l’énoncé de la question est, pour ainsi dire, en partie vrai & en partie faux ; elles mêlent, malgré nous, une question étrangere avec la question proposée, sans qu’il soit possible de l’en séparer, en rectifiant même l’énoncé ; car qu’on change dans l’énoncé les mots ajoûter & somme, en ôter & reste, la racine négative devient à la vérité positive ; mais la positive devient négative, & on se trouve toûjours dans le même embarras, sans pouvoir réduire la question à un énoncé qui ne donne que des racines réelles positives. Il en est de même dans le cas du n°. 1 précédent, où, quoique les racines soient toutes réelles & positives, cependant elles ne résolvent pas toutes la question ; néanmoins il y a encore cette différence entre ce cas & celui du n°. 3, que dans celui-ci, pour changer les racines négatives en positives, il ne faut changer qu’en partie les signes de , c’est-à-dire écrire ou  ; au lieu que dans le cas du n°. 1, il faut changer tout-à-la-fois les deux signes de , & écrire dans l’énoncé, pour employer la racine positive inutile à la question.

6°. Les racines négatives, je le répete, sont un inconvénient, sur-tout lorsqu’elles sont mêlées avec les positives ; mais il y a bien de l’apparence qu’on ne parviendra jamais à lever cet inconvénient ; peut-être pourroit-on le diminuer, si on avoit une bonne méthode de résoudre les équations. C’est ce que nous tâcherons plus bas de faire sentir, ou plûtôt entrevoir, en parlant des équations du second degré. Mais ce qui prouve que les racines négatives ne sont pas tout-à-fait inutiles à la solution d’un problème, c’est l’application de l’Algebre à la Géométrie. Les ordonnées négatives d’une courbe sont aussi réelles que les positives, & appartiennent aussi essentiellement à la courbe ; nous l’avons prouvé au mot Courbe d’une maniere aussi rigoureuse que nouvelle, en faisant voir que les ordonnées négatives deviennent positives, en transposant seulement l’axe. De même en transformant une équation algébrique, on peut rendre toutes les racines réelles positives ; car soit b la plus grande des racines négatives, & soit fait x=z−A, A étant une quantité plus grande que b ou égale à b ; alors les facteurs, au lieu d’être, par exemple, x−a, x+b, seront z−A−a, z−A+b, toutes deux positives. Voy. encore sur cet article ce que nous dirons plus bas, en parlant des équations appliquées à la Géométrie.

7°. Si on proposoit de trouver un nombre x, tel que fût =0, on auroit  ; &  ; valeurs imaginaires qui indiquent que l’énoncé de la question est absurde, & qu’il n’est pas possible de la résoudre. Mais, dira-t-on, pourquoi deux racines imaginaires ? une seule suffiroit pour avertir de l’absurdité. Je réponds que les deux imaginaires avertissent que la question est absurde non-seulement dans son énoncé, mais même dans tout autre qu’on lui substitueroit, c’est-à-dire en mettant ou à la place de . En effet , ou , donne &  ; racines imaginaires & de signe contraire aux précédentes, parce que l’énoncé de la question, quoique changé, demeure impossible.

8°. Ainsi, quand une équation n’a que des racines négatives ou fausses, cela indique que le problème est impossible dans le sens direct, mais non pas dans un autre sens ; au lieu que quand elle n’a que des racines imaginaires, cela indique que le problème est impossible dans quelque sens qu’on le présente. Quand les racines sont réelles & incommensurables, cela indique que le problème n’a point de solution numérique exacte, mais qu’on peut trouver un nombre qui approche aussi près qu’on voudra des conditions proposées ; donc les racines négatives, imaginaires & incommensurables, désignent différentes especes d’impossibilité dans la solution, mais d’impossibilité plus ou moins entiere, plus ou moins absolue.

9°. Mais quand les racines imaginaires sont mêlées avec des racines réelles, qu’est-ce qu’indiquent alors ces racines imaginaires ? Par exemple, , a pour racine réelle , & deux autres racines imaginaires qui sont celles de l’équation , comme on l’a vû au mot Cas irréductible. Ces deux racines imaginaires, dira-t-on, paroissent ici bien inutiles. Je réponds que ces deux imaginaires ne sont point de trop ; elles indiquent que s’il y avoit une quantité u, telle que pût être égal à zéro, le cube de cette quantité u seroit égal à . Voilà, ce me semble, tout ce qui regarde les racines des équations suffisamment éclairci ; passons à d’autres observations.

Il y a quelques remarques à faire sur la maniere dont on résoud ordinairement les équations du 2d degré : soit , on en conclud tout de suite  ; mais, dira-t-on, pourquoi fait-on positif égal à la quantité négative  ? il est bien vrai que deux quarrés égaux donnent des racines égales ; mais ce doit être des racines de même signe : cela est évident ; car de ce que , en conclura-t-on que  ? D’ailleurs est aussi-bien que la racine de  ; on devroit donc avoir . Je réponds, 1°. que cette derniere équation donne les quatre suivantes , , ,  : or les deux dernieres sont évidemment les mêmes que les deux premieres ; il suffit donc de prendre le double signe ± dans un des membres, & non dans les deux à la fois. 2°. J’aimerois mieux résoudre l’équation en raisonnant de cette sorte : La racine quarrée de est , si  ; & , si  : dans le premier cas, on a  ; dans le second, on a  : ce sont ces deux cas très-distincts & très-clairement énoncés de cette maniere, qu’on énonce tous les deux ensemble implicitement, & si je l’ose dire, obscurément, en écrivant . Les inventeurs de l’Algebre ont imaginé cette expression pour abréger ; & cette expression commode rend la métaphysique plus obscure. Voyez sur cela ce qui a été dit au mot Elémens des Sciences.

Si on avoit , alors on trouveroit, en suivant le raisonnement précédent, , ce qui ne donneroit que la racine positive ; à l’égard de la racine négative ou fausse, on n’en a que faire, puisqu’elle ne résout pas le probleme ; cependant on auroit cette racine, si on vouloit, en changeant l’énoncé de la question suivant les regles données ci-dessus ; ce qui donneroit & , ou .

On voit donc que par cette maniere que je propose de résoudre les équations du second degré, on sépareroit les raoines positives nécessaires d’avec les inutiles, les vraies d’avec les fausses, &c. cette méthode s’appliqueroit aux autres degrés, si on avoit une regle générale pour résoudre toute équation : mais la regle dont il s’agit est encore à trouver.

J’ai donné au mot Cas irréductible une théorie suffisante & neuve presque à tous égards de la résolution des équations du troisieme degré ; j’y renvoye le lecteur. Je n’y ai supposé qu’une proposition, c’est que si le second terme d’une équation du troisieme degré est nul, & que les trois racines soient réelles, le troisieme terme a toûjours le signe −. La question se réduit à prouver que si a+b+c=0, a, b, c, étant de tel signe qu’on voudra, & réelles, (voyez Coefficient), on aura ab+ac+bc négative, c’est-à-dire −aa−ac−cc négative, ce qui est évident ; donc si le troisieme terme est positif, il y a deux racines imaginaires. Nous rappellerons ici ce qui a été remarqué dans l’errata du troisieme volume, qu’à l’article Cas irréductible, l’imprimeur a mis par-tout 2y pour 27 ; cette faute d’impression ne peut embarrasser que les premiers commençans. Du reste on trouvera dans cet article, ou explicitement, ou implicitement, toute la théorie des équations du troisieme degré. Passons au quatrieme degré. Soit , une équation à résoudre, on suppose qu’elle soit le produit de , &  ; & on trouve, en multipliant ces deux équations l’une par l’autre, & comparant le produit terme à terme avec la proposée, les équations suivantes :

, ou


L’équation , &c. =0, étant du sixieme degré a six racines ; & les équations , en donnant chacune deux pour chaque valeur de y ; voilà donc, dira-t-on, vingt-quatre racines, quoique, suivant la théorie connue, l’équation , &c. ne doive avoir que quatre racines possibles. Je vais montrer que ces vingt-quatre racines se réduisent à quatre.

1°. Dans l’équation , &c. =0, où tous les termes pairs manquent, il est évident que chaque racine positive a sa pareille négative. Cela est évident ; car faisant , l’équation est du troisieme degré. Voy. Abaissement. Or soient A, B, C, les valeurs de z, on aura donc  ; donc  : de même . Cela posé.

Soit a une des valeurs de y, −a en sera une autre ; & l’équation donnera

.

L’équation , donnera

.

Ces deux dernieres équations reviennent au même que les deux précédentes ; donc voilà déjà quatre équations réduites à deux, & vingt-quatre à douze.

Je dis maintenant que , donnera les mêmes racines que , en supposant +b, −b deux autres racines de l’équation , &c. =0. Car soit yy−aa, yy−bb, yy−cc, les trois racines, on aura  ; & les deux équations précédentes deviendront , & , dont les racines sont aisées à trouver, & sont les mêmes. On trouvera de même que , donne encore les mêmes racines ; donc en général les douze racines se réduisent à quatre, & ces quatre seront

.

.

.

.


Car il faut remarquer que le signe − de répond à +ax, & que le signe + répond à −ax ; il ne faut pas prendre +ax avec +bc, ni −ax avec −bc.

Si on fait quatre équations simples des quatre valeurs précédentes de x, on formera par le produit une équation du quatrieme degré qui sera la même que la proposée, en mettant pour q, s, r, leurs valeurs , , & abc. Ainsi tout s’accorde parfaitement, comme on le voit. Il y a quelques auteurs qui ont traité ce dernier article des équations du quatrieme degré avec assez de soin ; mais, ce me semble, d’une maniere moins simple que nous ne venons de faire.

En résolvant d’une certaine façon quelques équations du quatrieme degré, on tomberoit dans un inconvénient semblable à celui du cas irréductible, c’est-à-dire qu’on trouveroit des quantités réelles sous une forme imaginaire. Soit, par exemple, , on a deux racines réelles x=a, x=−a, & deux autres imaginaires  ; cependant si on supposoit que l’équation , fût venue de ces deux-ci , on trouveroit  : ainsi on auroit pour les deux équations, dont la multiplication produit , ces deux-ci :

,

 ;


équations d’où l’on ne tirera que des valeurs de x sous une forme imaginaire ; néanmoins de ces différentes valeurs une sera =a, & une autre =−a. Voyez sur cela l’article Imaginaire. Voyez aussi les mémoires de l’acad. de Berlin, 1746, & l’ouvrage cité de M. de Bougainville.

Il est aisé de voir par tout ce qui a été dit, qu’il n’y a jusqu’à présent que les équations du second degré dont on ait une solution complete ; car 1°. les équations du troisieme degré tombent souvent dans le cas irréductible. 2°. Si une équation du troisieme degré a une racine réelle & commensurable, cette racine commensurable se présente sous une forme incommensurable, & il faut du travail pour la dégager de cette forme. Voy. Racine & Extraction. 3°. Les équations du quatrieme degré se réduisent, comme on vient de le voir, au troisieme, & sont par conséquent sujettes aux mêmes inconvéniens.

Lorsqu’une équation du troisieme degré a une racine commensurable, le plus court moyen de la déterminer, est d’essayer tous les diviseurs du dernier terme ; M. Newton, dans son arithmétique universelle, a donné une méthode pour abréger considérablement cet essai. Nous ne dirons rien de cette méthode, qui a été suffisamment expliquée & développée par MM. Gravesande & Clairaut, dans leurs élémens d’Algebre.

Passé le quatrieme degré, on n’a plus de méthode, même imparfaite & tronquée, pour résoudre les équations. Si la racine est réelle, il faut essayer les diviseurs du dernier terme ; si elle est incommensurable, il faut tâcher de connoître à-peu-près cette racine en nombres entiers, & se servir ensuite de la méthode expliquée au mot Approximation, pour approcher de plus en plus de la vraie valeur. La difficulté est d’avoir d’abord la racine cherchée exprimée à-peu-près en nombres entiers ou rompus ; on n’a point de méthode générale pour cela ; on n’a que des tentatives & des essais ; la méthode des cascades expliquée à l’article Cascade, est très-limitée, & par conséquent très-fautive. Cette méthode suppose, 1°. que la proposée ait toutes ses racines réelles ; 2°. que l’équation du maximum des y ait aussi toutes ses racines réelles ; 3°. que l’on puisse connoître toutes les racines de cette derniere équation du maximum, ou du moins qu’on les puisse connoître à-peu-près, ce qui revient à la même difficulté.

Si on trouve deux quantités a, b, peu différentes l’une de l’autre, qui étant substituées à la place de x dans une équation, donnent l’une un résultat positif, l’autre un résultat négatif, il s’ensuit que la valeur qui donne le résultat =0, & qui est la vraie racine de l’équation, sera entre a & b. En effet construisons une courbe de genre parabolique, nous verrons clairement que si une valeur de x donne l’ordonnée positive, & qu’une autre valeur de x donne l’ordonnée négative, la valeur de x qui donnera l’ordonnée =0, sera entre ces deux-là : mais il n’en faut pas conclure, que si on diminue, ou qu’on augmente tant soit peu cette valeur de x, qui donne le résultat =0, on aura deux résultats de signe différent ; car il est évident qu’une courbe parabolique peut atteindre son axe sans le couper, mais en le touchant seulement ; & en général pour qu’une quantité passe par le zéro, il n’est point nécessaire que les deux états voisins de cette quantité, l’un avant, l’autre après l’égalité à zéro, soient des états opposés. Cela est clair par les tangentes paralleles au diametre du cercle, où l’ordonnée positive devient zéro, & redevient ensuite positive, & par une infinité d’autres cas semblables.

Dans les mémoires de l’académie des Sciences pour l’année 1747, page 665, on trouve un savant mémoire de M. Fontaine sur la résolution des équations. L’auteur annonce qu’il donne ce mémoire pour l’analyse en entier, telle qu’on la cherche, dit-il, si inutilement depuis l’origine de l’Algebre. Il se propose en effet de donner dans cet ouvrage des regles pour déterminer, dans une équation quelconque proposée, 1°. la nature & le nombre des racines, c’est-à-dire si elles sont réelles, égales ou inégales, toutes positives, toutes négatives, ou en partie positives & négatives, ou enfin imaginaires en tout ou en partie. L’auteur suppose dans cet ouvrage la vérité d’un théorème que j’ai démontré le premier, & dont il a déjà été fait mention plus haut : savoir que toute racine imaginaire d’une équation peut toûjours être exprimée par , a & b étant deux quantités réelles, & qu’il y a en ce cas encore une autre racine exprimée par . Nous n’entrerons point ici dans le détail de la méthode donnée par M. Fontaine ; elle est si bien expliquée dans le mémoire cité, & présentée avec tant de précision, que nous ne pourrions absolument que la transcrire ici ; nous y renvoyons donc le lecteur. Nous ferons seulement les remarques suivantes, dans lesquelles nous supposerons qu’il ait le mémoire sous les yeux.

1°. La quantité ou fonction formée des coefficiens m, n, p, &c. (qui est égale à zéro dans certains cas, plus grande que zéro dans d’autres, & plus petite dans d’autres) se trouve, en faisant égales entr’elles, quelques quantités parmi les racines de l’équation ; car il y a toûjours autant de quantités a, b, c, d, &c. dans les racines de l’équation qu’il y a de coefficiens m, n, p, q, &c. on a donc autant d’équations entre a, b, c, d, &c. & m, n, p, q, &c. qu’il y a de coefficiens m, n, p, q ; & on ne peut arriver à une quantité ou équation finale, de laquelle a, b, c, d, &c. ayent disparu, que dans le cas où quelques-unes des quantités a, b, c, d, &c. seront égales ; autrement, après toutes les opérations ordinaires destinées à faire évanoüir les inconnues a, b, c, d, (voy. Evanouir) &c. il en resteroit toûjours une, puisqu’il y auroit autant d’équations que d’inconnues. Prenons, par exemple, un des cas que M. Fontaine a proposés, , ou  ; on trouve que ou ou peuvent être les trois systèmes de facteurs de cette formule. Or pour que les deux premiers systèmes de facteurs deviennent les mêmes, il faut que dans le premier système b=a, & que dans le second b=0 ; d’où l’on tire  ; donc  ; donc dans le cas de a=b, on a . Maintenant pour que le second & le troisieme système de facteurs deviennent le même, il faut que b=a dans les deux systèmes ; ainsi on aura  ; donc  ; donc  ; ainsi & sont les deux quantités égales, plus grandes ou plus petites que zéro, qui doivent déterminer ici les racines égales ou les racines réelles, ou les racines imaginaires, & de plus le signe & la forme des racines.

2°. On voit assez par la nature de la méthode de M. Fontaine, qu’un système de facteurs étant donné dans le second, ou même dans le troisieme degré, on trouvera la nature de la formule d’équation qui en résulte, c’est-à-dire le signe de chaque coefficient de cette formule ; mais on ne voit pas, ce me semble, avec la même clarté comment on déterminera la formule qui résulte d’un système de facteurs, dans les équations plus composées que le troisieme degré ; ni s’il sera toûjours possible d’assigner exactement toutes les formules qui résultent d’un même système de facteurs, en cas que ce système puisse produire plusieurs formules. Il seroit à souhaiter que ceux qui travailleront dans la suite d’après la méthode de M. Fontaine, s’appliquassent à développer ce dernier objet.

3°. M. Fontaine suppose que la quantité qui est =0 dans le cas de la coïncidence de deux systèmes de facteurs, est nécessairement plus grande que zéro pour l’un de ces systèmes de facteurs, & plus petite pour l’autre. Il est vrai qu’il arrive le plus souvent qu’une quantité égale à zéro dans l’hypothèse de deux quantités qui coïncident, est positive & négative dans les deux cas immédiatement voisins ; mais cela n’arrive pas toûjours. Par exemple, lorsqu’une courbe de genre parabolique touche son axe, & que par conséquent l’abscisse x répondante à l’ordonnée y=0, a deux racines égales, il arrive souvent qu’en faisant x plus grande ou plus petite qu’une de ces racines, on a y positive dans les deux cas. Ce n’est pas tout. Il pourroit arriver que dans les cas infiniment voisins, ou extrèmement voisins de celui qui a donné l’égalité à zéro, la quantité formée de m, n, p, q, &c. fût plus grande que zéro pour un de ces cas, & plus petite pour l’autre ; mais est-il bien certain que dans les cas qui ne seront pas fort voisins de celui qui a donné l’égalité à zéro, il y en aura toûjours un qui donnera la fonction 0, & que l’autre donnera la même fonction 0 ? Une courbe qui coupe son axe en un point, a près de ce point en-dessus & en-dessous des ordonnées de différens signes ; mais il est très-possible que toutes les ordonnées au-dessus & au-dessous ne soient pas nécessairement de différens signes, parce que la courbe peut encore couper son axe ailleurs. M. Fontaine dit que s’il y a plusieurs fonctions =0, il sera toûjours facile de reconnoître laquelle de ces fonctions est toûjours plus grande que zéro dans l’un des deux systèmes, & toûjours moindre dans l’autre ; il semble que, suivant son principe, dès qu’une fonction est égale à zéro dans le cas de la coïncidence de deux systèmes de facteurs, elle est toûjours plus grande que zero dans un de ces systèmes, & moindre dans l’autre. S’il y a des cas où cela puisse n’avoir pas lieu (comme M. Fontaine semble l’insinuer), pourquoi, dira-t-on, n’arriveroit-il pas quelquefois que cela n’auroit lieu dans aucun cas ?

Enfin M. Fontaine détermine par le calcul d’un seul cas numérique particulier d’un des deux systèmes, celui où la fonction est 0, & celui où la fonction est plus petite. Cela peut être encore sujet à difficulté ; car cela suppose que la formule est toûjours 0 dans un des cas, & toûjours 0 dans l’autre. Or, dira-t-on, ne pourroit-il pas arriver que la formule fût à la vérité toûjours ou 0, dans les deux cas pris ensemble ; mais qu’après avoir été plus grande que zéro dans l’un de ces cas, jusqu’à une certaine valeur des quantités a, b, c, d, &c. & plus petite dans l’autre cas, elle devînt ensuite plus petite que zéro dans le premier cas, & plus grande dans le second ?

Nous ne prétendons point par ces difficultés attaquer, ni encore moins renverser la méthode de M. Fontaine ; elle nous paroît pleine de sagacité & de finesse, & digne de toute l’attention des savans ; nous la regardons comme une nouvelle preuve du génie supérieur que l’auteur a déjà montré dans d’autres ouvrages (voyez Intégral & Tautochrone) ; nous desirons seulement que M. Fontaine trouve ces difficultés assez capables d’arrêter les géometres, pour daigner les lever entierement dans un autre écrit, & mettre sa méthode à l’abri même de toute chicane. Afin de l’y engager, voici à quoi nous réduisons la question. La formule est =0 dans le cas de l’égalité de certaines racines ; soit cette formule appellée P. Supposons maintenant les racines inégales, en sorte que 2t soit leur différence (c’est-à-dire que +t doive être ajoûté à l’une, & − t à l’autre), en ce cas la formule deviendra , &c. R, S, Q, désignant des quantités connues : or, pour que la méthode de M. Fontaine ait lieu dans tous les cas, il faut, 1°. que R ne soit jamais =0, ou du moins que si R=0, S le soit aussi, en un mot que t se trouve toûjours à une puissance impaire dans le premier des coefficiens ; autrement t étant supposé très-petit, les deux formules seroient l’une & l’autre ou 0, t étant positif ou négatif : 2°. qu’en supposant t positif, , &c. soit toûjours du même signe, t ayant telle valeur qu’on voudra : 3°. qu’en supposant t négatif, , &c. soit toûjours de signe contraire au précédent, t ayant telle valeur qu’on voudra. Ces trois propositions démontrées, il ne restera plus de doute sur la généralité & la certitude de la méthode proposée par M. Fontaine.

Il seroit encore à souhaiter que l’auteur donnât une démonstration de la méthode qu’il propose, pour approcher, aussi près qu’on veut, des racines des équations ; il semble supposer encore dans l’exposé de cette méthode, que quand une certaine valeur de φ rend =0 une quantité ou fonction de φ, deux autres valeurs de φ, l’une plus grande, l’autre plus petite, donneront l’une moins ou plus que zéro, l’autre plus ou moins que zéro. Cela n’est pas vrai en général, mais cela pourroit l’être dans le cas particulier de M. Fontaine ; & c’est ce qu’il seroit bon de prouver. Voyez l’article Racine.

Il nous reste à faire quelques réflexions sur les équations appliquées à la Géométrie. Nous avons indiqué au mot Découverte, par quel raisonnement Descartes est parvenu à appliquer les équations indéterminées aux courbes ; les mots Courbe, Différentiel, Tangente, &c. & autres semblables, font voir en détail les applications & les conséquences de ce principe. On a vû aussi au mot Construction, comment on construit les équations par la Géométrie. Il ne nous reste ici qu’un mot à dire sur la multiplicité des racines des équations en Géométrie. Les observations que nous avons à faire sur ce sujet, sont une suite de celles que nous avons déjà faites sur les racines multiples des équations algébriques.

Supposons, par exemple, qu’on propose de diviser une ligne a en moyenne & extrème raison, nommant x la partie cherchée de cette ligne, on aura a : x ∷ x : a−x ; d’où l’on tire , &  ; la racine négative de cette équation ne sauroit servir ici, mais elle serviroit à la solution de ce problème, trouver dans le prolongement de la ligne donnée a une ligne x, telle que a : x ∷ x : a+x ; dans ce cas la racine négative devient positive, & la positive négative ; & l’équation est .

Si on propose de tirer du point A une ligne AE (fig. 11. d’Algeb.) dans un cercle, telle que BO étant perpendiculaire au diametre AD, & donnée de position, on ait FE= à une ligne donnée a, on aura en nommant BF, x, une équation du quatrieme degré qui n’aura ni second, ni quatrieme terme ; cette équation aura deux racines positives BF & Bf, telles que FE d’une part, & fe de l’autre, seront égales à a ; & deux autres racines égales aux deux précédentes & de signes contraires, parce qu’en achevant le cercle, & prolongeant OB en-dessous, le problème aura deux solutions pareilles ; si a étoit plus grand que BD, les racines seroient imaginaires.

Si on nommoit AF, x, BO, b, AC, r, AB, c, on auroit ou  ; la racine positive est AF, & la négative Af, parce que cette racine négative, si on la traitoit comme positive, donneroit , & non pas . Voilà un cas où deux racines de différens signes n’indiquent pas des positions diamétralement opposées dans les lignes AF, Af, qui représentent ces racines, mais seulement le changement de signe du second terme ax dans l’équation du problème.

Dans ce dernier cas, c’est-à-dire en prenant AF pour l’inconnue, l’équation n’est que du second degré, au lieu qu’en prenant BF pour inconnue, elle monte au quatrieme ; d’où l’on voit comment par le bon choix des inconnues on peut simplifier un problème en plusieurs occasions. Mais, dira-t-on, pourquoi le problème a-t-il quatre solutions dans un cas, & deux seulement dans un autre ? Je réponds que dans le dernier cas il a aussi quatre solutions comme dans le premier ; ou pour parler plus exactement, que BF a quatre valeurs dans les deux cas ; car , ce qui donne deux valeurs égales de différent signe pour chaque valeur de AF. Voyez encore d’autres observations sur un problème de ce genre à l’article Situation.

Autre question. On propose d’inscrire dans un rectangle donné ABDE (fig. 11. alg. n. 2.) un rectangle abde, dont les côtés soient également éloignés des côtés du grand, & qui soit à ce grand rectangle comme m est à n : soit AB=a, AD=b, AC=x, on aura , & on trouvera par la résolution de cette équation, qu’en supposant m n, x a deux valeurs réelles & positives ; cependant le problème n’a évidemment qu’une solution, mais il renferme une condition que l’Algebre ne peut pas énoncer, savoir que le rectangle abde soit au-dedans de l’autre : si on avoit on trouveroit la même équation, & cependant ce ne seroit plus le même problème. Le parallélogramme rectangle qui satisferoit à cette question, seroit alors celui qu’on voit, fig. 11. n. 3. dans lequel AC est égal à la plus grande valeur positive de x, & AC=Ca ; le côté ad est éloigné de AD comme le côté ca de AB, & ainsi du reste ; mais le rectangle abcd n’est pas au-dedans de l’autre ; condition que l’Algebre ne peut exprimer. Voyez Situation.

Sur les équations différentielles, exponentielles, &c. voy. Différentiel, Exposant, Exponentiel, Intégral, Construction, &c.

On appelle quelquefois équation, en Géométrie & en Méchanique, ce qui n’est qu’une simple proportionnalité indiquée d’une maniere abrégée ; par exemple, quand on dit qu’un rectangle est égal au produit de sa base par sa hauteur, cela signifie explicitement : si on a deux rectangles, & qu’on prenne une quantité quelconque linéaire a pour la mesure commune de leur base & de leur hauteur ; que B soit le nombre de fois (entier ou rompu, rationnel ou irrationnel) que la base de l’un contient a ; que H soit le nombre de fois que la hauteur du même contient a ; que b soit le nombre de fois que la base de l’autre contient a ; que h soit le nombre de fois que la hauteur du même contient a, les aires de ces deux rectangles seront entr’elles comme le produit des nombres B, H, est au produit des nombres b, h. De même, quand on dit que la vîtesse d’un corps qui se meut uniformément, est égale à l’espace divisé par le tems, cela veut dire explicitement : si deux corps se meuvent uniformément, & parcourent, l’un l’espace E pendant le tems T, l’autre l’espace e pendant le tems t ; qu’on prenne une ligne a pour commune mesure des espaces E, e, & un tems θ pour communes mesures des tems T, t, les vîtesses seront comme le nombre divisé par le nombre , est au nombre divisé par le nombre . Voyez Mesure, Vitesse, &c. (O)

Equation de l’Horloge, est la même chose que l’équation du tems. Voyez l’article suivant.

Equation du Tems, en Astronomie, est la différence entre le tems vrai ou apparent, & le tems moyen ; c’est-à-dire la réduction du tems inégal apparent, ou du mouvement inégal, soit du Soleil, soit d’une planete, à un tems ou à un mouvement moyen, égal & uniforme. Voyez Tems & Mouvement.

Le tems ne se mesure que par le mouvement ; & comme le tems en lui-même coule toûjours uniformément, on se sert, pour le mesurer, d’un mouvement qu’on suppose égal & uniforme, ou qui conserve toûjours la même vîtesse.

Le mouvement du Soleil est celui dont on se sert communément pour cela, parce que ce mouvement est celui qu’on observe le plus facilement : cependant il manque de la principale qualité nécessaire pour mesurer le tems, c’est-à-dire de l’uniformité. En effet les Astronomes ont remarqué que le mouvement apparent du Soleil n’est pas toûjours égal & uniforme ; mais que ce mouvement tantôt s’accélere, tantôt se rallentit : il ne peut donc servir à mesurer le tems, qui est uniforme par sa nature. Voyez Soleil.

Ainsi le tems mesuré par le mouvement du Soleil, & qu’on appelle le tems vrai ou apparent, est différent du tems moyen & uniforme, suivant lequel on mesure & on calcule tous les mouvemens des corps célestes.

Voici comment on explique cette inégalité. Le jour naturel ou solaire n’est pas proprement mesuré par une révolution entiere de l’équateur, ou par vingt-quatre heures équinoxiales, mais par le tems qui s’écoule, tandis que le plan d’un méridien qui a passé sous le Soleil, vient à y repasser une seconde fois par la rotation de la Terre ; & ce tems est la distance qu’il y a entre le midi d’un jour & le midi du jour suivant. Voyez Jour & Méridien.

Or si la Terre n’avoit point d’autre mouvement que celui de sa rotation autour de son axe, tous les jours seroient exactement égaux les uns aux autres, & auroient tous pour mesure le tems de la révolution de l’équateur : mais cela n’est pas tout-à-fait ainsi ; car tandis que la Terre tourne autour de son axe, elle avance en même tems dans son orbite : de sorte que quand un méridien qui a passé sous le centre du Soleil a fait une révolution entiere, ce méridien ne revient pas sous le Soleil précisément, comme il paroît par la figure.

Soit S le Soleil (Pl. Astr. fig. 50) & soit AB une portion de l’écliptique ; supposons que la ligne MD représente un méridien quelconque, dont le plan prolongé passe par le centre du Soleil lorsque la Terre est en A ; imaginons ensuite que la Terre avance dans son orbite, & qu’en faisant une révolution autour de son axe elle arrive en B, le méridien MD se trouvera dans une position md parallele à la premiere : par conséquent le méridien, dans ce nouvel état, ne passera pas par le centre du Soleil, & les peuples qui l’habitent n’auront point encore midi. il faut pour cela que le méridien dm fasse encore un mouvement angulaire, & décrive l’angle dBf, afin que son plan puisse passer par le Soleil. Voyez © Copyright Wikipedia authors - The articles gathered in this document are under the GFDL licence.
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