Algèbre géométrique (structure)

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Ne doit pas être confondu avec géométrie algébrique.
Pour les articles homonymes, voir « Algèbre (homonymie) » et notamment la branche de mathématiques appelée algèbre géométrique.

[incompréhensible]

En mathématiques, une algèbre géométrique est une algèbre de Clifford réelle, avec une interprétation géométrique mise au point par David Hestenes (en), reprenant les travaux de Hermann Grassmann et William Kingdon Clifford (le terme est aussi utilisé dans un sens plus général pour décrire l'étude et l'application de ces algèbres : l'algèbre géométrique est l'étude des algèbres géométriques). Le but avoué de ce physicien théoricien et pédagogue est de fonder un langage propre à unifier les manipulations symboliques en physique, dont les nombreuses branches pratiquent aujourd'hui, pour des raisons historiques, des formalismes différents (tenseurs, matrices, torseurs, analyse vectorielle, utilisation de nombres complexes, spineurs, quaternions, formes différentielles…). Le nom choisi par David Hestenes (geometric algebra) est celui que Clifford voulait donner à son algèbre.

L'algèbre géométrique se veut utile dans les problèmes de physique qui impliquent des rotations, des phases ou des nombres imaginaires. Ses partisans disent qu'elle fournit une description plus compacte et intuitive de la mécanique quantique et classique, de la théorie électromagnétique et de la relativité. Les applications actuelles de l'algèbre géométrique incluent la vision par ordinateur, la biomécanique ainsi que la robotique et la dynamique des vols spatiaux.

Sommaire

Histoire[modifier | modifier le code]

Dès l'Antiquité des liens entre l'algèbre et la géométrie étaient connus des Grecs, mais les bases du système dont il est ici question furent établies au XIXe siècle.[réf. nécessaire]

En 1843 William Rowan Hamilton découvre les quaternions qu'il interprète géométriquement comme des vecteurs (à tort). Un an plus tard, Hermann Günther Grassmann introduit le produit intérieur et le produit extérieur qui permettent la construction d'algèbres opérant sur des objets géométriques. Enfin, en 1873 William Kingdon Clifford parvient à intégrer les résultats d'Hamilton et ceux de Grassmann dans une première formulation de l'algèbre géométrique.

La découverte de Clifford passe inaperçue, sans doute à cause du décès prématuré de son auteur,[réf. nécessaire] et les physiciens de la fin du XIXe siècle ne connaissant pas cet outil mathématique commencent à employer un autre système connu sous le nom de « calcul vectoriel ». Développé par Josiah Willard Gibbs et Oliver Heaviside, le calcul vectoriel a permis notamment de formuler clairement la théorie de l'électromagnétisme de James Clerk Maxwell, et s'est également révélé d'usage facile en mécanique classique. Ces succès en ont fait, jusqu'à ce jour, le système mathématique le plus utilisé en physique.

Au début du XXe siècle, la théorie de la relativité générale amène à reconnaître l'espace-temps de dimension 4. Le calcul vectoriel ne s'étend pas bien en dimension 4, une des raisons étant que le produit vectoriel n'est défini qu'en dimension 3. Les physiciens, n'ayant toujours pas connaissance des algèbres découvertes par Clifford, compensent les insuffisances du calcul xectoriel en introduisant divers systèmes mathématiques complémentaires.

Ce n'est que dans la deuxième moitié du XXe siècle que David Hestenes (en) montra que l'algèbre géométrique est parfaitement adéquate en dimension 4 où elle se décline en algèbre de l'espace-temps (Space-Time Algebra) qui formalise élégamment et efficacement la relativité restreinte. Hestenes montre également qu'avec l'algèbre géométrique, l'électromagnétisme gagne en simplicité, et que la mécanique classique en dimension 3 bénéficie d'une meilleure gestion des rotations. Un autre résultat majeur obtenu par Hestenes est que la mécanique quantique peut être reformulée par l'algèbre géométrique sans nombres imaginaires et sans matrices, avec une interprétation géométrique.

Aujourd'hui, l'algèbre géométrique est présentée par ses défenseurs comme langage universel pour les ingénieurs et physiciens. Leurs arguments sont solides, mais le poids de l'histoire s'oppose à la refondation qu'ils proposent et leur cause ne progresse que lentement.[réf. nécessaire]

Définitions[modifier | modifier le code]

Algèbre géométrique[modifier | modifier le code]

Définition — Une algèbre géométrique est une algèbre associative unitaire sur un corps, engendrée par un sous-espace vectoriel[1] dont tous les éléments ont pour carré un scalaire[2].

Avec cette définition, l'algèbre géométrique, le corps et le sous-espace vectoriel sont notés respectivement , et .

Hestenes a exprimé sa forte réticence à considérer le cas d'une algèbre sur le corps des complexes[3]. En fait, dans Hestenes, Li et Rockwood 2001, le corps des scalaires est bel et bien choisi égal au corps des réels. La définition la plus générale a ici été présentée mais dans le reste de cet article, sauf mention contraire, on supposera . Dans ce même ouvrage, Hestenes impose aussi à une dimension finie n. Dans ce cas, et peuvent être notés respectivement et (ou ).

Dans cet article, est de dimension quelconque, mais dans le cas où cette dimension est infinie, elle sera tout de même supposée dénombrable pour faciliter les notations.

L'opération de multiplication dans une algèbre géométrique est appelée produit géométrique.

Cas euclidien[modifier | modifier le code]

Lorsque est de dimension finie, et que le carré de tout élément de est positif, on parle, pour des raisons justifiées plus loin, de « cas euclidien ».

Algèbre de Clifford[modifier | modifier le code]

La donnée d'un espace vectoriel et d'une forme quadratique sur permet de construire une algèbre géométrique dite générée par sous la condition . Cette algèbre est ce qu'on appelle l'algèbre de Clifford.

Si une algèbre de Clifford requiert une forme quadratique pour sa définition, on verra plus loin qu'inversement, une algèbre géométrique permet de définir de façon unique une forme quadratique à partir du produit géométrique. La notion d'algèbre géométrique est donc identique à celle d'algèbre de Clifford, la seule différence étant l'ordre de présentation : une algèbre de Clifford est définie à partir d'un espace vectoriel et d'une forme quadratique, tandis qu'une algèbre géométrique est définie à partir d'une algèbre et d'un sous-espace vectoriel particulier. C'est pourquoi de nombreuses sources définissent purement et simplement les algèbres géométriques comme des algèbres de Clifford, assimilant exactement les deux concepts.

Vecteur[modifier | modifier le code]

Même si est doté d'une structure d'espace vectoriel, David Hestenes réserve le mot vecteur aux éléments de . Dans cet article, en règle générale, les vecteurs seront notés en bas-de-casse gras.

Nullité[modifier | modifier le code]

Un vecteur de carré nul est dit nul. Parfois, le terme est réservé aux vecteurs différents de zéro, c'est-à-dire aux vecteurs non trivialement nuls.

Signature[modifier | modifier le code]

La signature d'un vecteur a non « nul » est le signe de a2.

Grandeur[modifier | modifier le code]

La grandeur ou norme d'un vecteur a notée |a|, est le réel positif

|a2| désigne la valeur absolue du réel a2 (ou le module du complexe, dans le cas ).

Produits intérieur et extérieur[modifier | modifier le code]

À partir du produit géométrique de deux vecteurs a et b, on définit deux nouveaux produits, dont le premier est symétrique et le second antisymétrique[4]:

ab est appelé produit intérieur, ab est appelé produit extérieur. La littérature scientifique francophone utilise aussi le symbole pour désigner le produit vectoriel. Cette ambiguïté n'existe pas dans la littérature anglo-saxonne car le produit vectoriel y est désigné par le symbole ×.

Théorème — Le produit intérieur de deux vecteurs est un scalaire
.

Le produit extérieur est généralisé à k vecteurs par la formule suivante :

est le groupe des permutations d'indice k.

Priorités de calcul[modifier | modifier le code]

La plupart des auteurs attribuent aux produits intérieur et extérieur une priorité supérieure au produit géométrique, de telle sorte que :

Décomposition canonique[modifier | modifier le code]

Pour deux vecteurs a et b, on a la relation suivante, qui constitue la décomposition dite canonique du produit géométrique de deux vecteurs :

et sont respectivement appelés (pour des raisons justifiées plus loin) partie scalaire et partie bivectorielle du produit géométrique ab.

Orthogonalité[modifier | modifier le code]

Deux vecteurs dont le produit intérieur est le scalaire 0 sont dits orthogonaux.

Base orthonormée[modifier | modifier le code]

Une famille de vecteurs (e1, e2, ...) est dite orthonormée lorsque :

où le scalaire δij est le symbole de Kronecker.

Lorsque cette famille est aussi génératrice de , on dit qu'elle constitue une base orthonormée des vecteurs de l'algèbre géométrique ou, avec un léger abus de langage, une base orthonormée de l'algèbre géométrique.

On verra plus loin que dans le cas euclidien, cette définition d'une base orthonormée coïncide avec la définition d'une base orthonormée dans un espace euclidien.

Lame[modifier | modifier le code]

Une lame[5] Ak est un élément de l'algèbre géométrique, qui peut être écrit comme produit extérieur de k vecteurs linéairement indépendants.

Grade[modifier | modifier le code]

L'entier k est ce qu'on appelle le grade[6] de Ak.
Ainsi, les scalaires (A0), les vecteurs (A1), les bivecteurs (A2), les trivecteurs (A3), et en général les k-vecteurs, ont respectivement les grades 0, 1, 2, 3, k.

Orientation[modifier | modifier le code]

Deux lames colinéaires sont dites de même orientation lorsque le coefficient de proportionnalité qui les relie est positif. Dans le cas contraire, elles sont dites d'orientation opposée.

Unitarité[modifier | modifier le code]

Une lame de grade k est dite unitaire (ou unité) lorsqu'elle peut être écrite comme produit géométrique de k vecteurs orthogonaux de grandeur 1.

Dégénérescence[modifier | modifier le code]

Une lame est dite dégénérée ou nulle lorsque son carré géométrique est nul.

Trame[modifier | modifier le code]

Les vecteurs (a1, a2, ..., ak) constituent ce qu'on appelle une trame (frame, ou base) de Ak.

On dit aussi que Ak est le pseudoscalaire pour cette trame.

Dualité[modifier | modifier le code]

Pour toute trame (a1, a2, ..., ak) , la trame duale est la famille de k vecteurs (a1, a2, ..., ak) telle que :

L'indice haut ici ne représente pas l'exponentiation géométrique.

Bivecteur, trivecteur, k-vecteur[modifier | modifier le code]

Les termes bivecteur, trivecteur et k-vecteur[7] désignent respectivement des lames de grade deux, trois et k. Certains auteurs[8] distinguent cependant les k-vecteurs des k-lames en stipulant que les k-vecteurs sont les sommes de k-lames. Ces sommes forment un sous-espace vectoriel de , noté [9]. Ainsi, .

Les bivecteurs et trivecteurs peuvent aussi être qualifiés respectivement d'aire orientée et de volume orienté.

Projection au grade k[modifier | modifier le code]

Les sous-espaces constituent une décomposition en somme directe de l'espace géométrique :

Cette décomposition, pour un , s'écrit :

définissant ainsi l'opérateur dit de projection au grade k. est qualifié de composante de grade k de M, ou encore partie de grade k de M. La partie de grade 0, ou partie scalaire, est également notée .

Produits intérieur et extérieur[modifier | modifier le code]

Les produits intérieur et extérieur d'un r-vecteur Ar et d'un s-vecteur Bs peuvent être définis par :

Cette définition étend celle des produits intérieur et extérieur définis plus haut pour les vecteurs, c'est-à-dire pour r = s = 1.

Hestenes, Li et Rockwood 2001 proposent aussi une définition récursive, équivalente.

Projection et réjection[modifier | modifier le code]

La donnée d'une lame non dégénérée Ar permet d'écrire tout vecteur a selon une décomposition dite orthogonale :

et sont appelés respectivement projection et réjection.

Multivecteur[modifier | modifier le code]

Les éléments de sont appelés multivecteurs. Hestenes utilise aussi parfois l'expression directed number, qu'on peut traduire par nombre orienté. Cependant, le terme multivecteur semble prévaloir dans les publications récentes.

Verseur[modifier | modifier le code]

Un verseur (versor en anglais) est un multivecteur qui peut être écrit comme produit géométrique de vecteurs non « nuls ».

Commutateur[modifier | modifier le code]

Le commutateur de deux multivecteurs est défini comme la moitié[4] du commutateur usuel dans un anneau :

Réversion[modifier | modifier le code]

La réversion d'un multivecteur M est le multivecteur[10] :

Certains auteurs utilisent le symbole tilde au lieu de l'obèle.

L'opérateur est appelé antiautomorphisme principal de . C'est un antiautomorphisme d'algèbre, puisque

Involution par grade[modifier | modifier le code]

L'involution par grade, ou conjugaison paritaire ou conjugaison d'un multivecteur M est le multivecteur[10] :

L'opérateur est une involution appelée involution principale de .

Parité[modifier | modifier le code]

Un multivecteur est dit pair lorsque M* = M. Il est dit impair lorsque M* = –M.

Grandeur[modifier | modifier le code]

La grandeur d'un multivecteur M est le scalaire positif[10] :

Dans le cas particulier d'un k-vecteur, on a donc :

ce qui étend la définition donnée plus haut pour k = 1.

Norme[modifier | modifier le code]

La grandeur constitue une norme de l'algèbre géométrique. Le terme norme est donc aussi utilisé.

Produit scalaire[modifier | modifier le code]

Le produit scalaire de deux multivecteurs M et N est la partie scalaire du produit géométrique de M par la réversion de N[10] :

(Le produit scalaire de deux vecteurs est donc égal à leur produit intérieur : )

Base canonique[modifier | modifier le code]

Une base canonique est une base de (vu en tant qu'espace vectoriel) telle qu'il existe une base orthonormée dans laquelle les éléments de la base canonique peuvent s'écrire[11] :

est une suite finie et strictement croissante d'entiers positifs.

Dimension finie[modifier | modifier le code]

Les définitions de cette sous-section ne sont valables que lorsque est de dimension finie n.

Pseudoscalaire[modifier | modifier le code]

Un pseudoscalaire est une lame dont le grade n est égal à la dimension de l'espace. Tous les pseudoscalaires sont multiples les uns des autres.

Unitarité[modifier | modifier le code]

Tous les pseudoscalaires unitaires[12], notés , sont égaux à un signe moins près. Cette quasi-unicité justifie une notation indépendante du choix des vecteurs , ainsi que l'utilisation de l'article défini.

Le pseudoscalaire unitaire est donc défini par :

Grandeur[modifier | modifier le code]

La grandeur d'un pseudoscalaire par rapport au pseudoscalaire unitaire est notée avec des crochets encadrant et est définie comme le produit du pseudoscalaire considéré par l'inverse du pseudoscalaire unitaire :

Dualité[modifier | modifier le code]

Le dual d'un multivecteur M est :

Tout comme le pseudoscalaire unitaire, le dual n'est donc défini qu'au signe près.

Intersection[modifier | modifier le code]

L'intersection (meet en anglais) de deux multivecteurs est[10] :

Transformations linéaires[modifier | modifier le code]

De façon générale, les transformations linéaires sur sont notées avec un symbole souligné ou surligné.

Il est important de garder à l'esprit qu'une transformation linéaire n'est pas un élément de l'algèbre géométrique. Une expression telle que ne désigne donc pas un produit géométrique mais bien l'application de la fonction linéaire sur a.

Endomorphisme adjoint[modifier | modifier le code]

Pour tout endomorphisme de , il existe un unique endomorphisme de tel que :

est alors appelé endomorphisme adjoint de .

Ectomorphisme[modifier | modifier le code]

Tout endomorphisme sur peut être naturellement étendu sur [10] :

Cette extension est appelé ectomorphisme[13], compte tenu du fait qu'elle préserve le produit extérieur.

De la même façon pour toute lame  :

La linéarité permet alors d'étendre à tout .

La notion d'endomorphisme adjoint peut être généralisée aux ectomorphismes par la relation :

Transformations orthogonales[modifier | modifier le code]

Une transformation linéaire U est dite orthogonale lorsqu'elle préserve le produit intérieur :

Cette définition est équivalente à la caractérisation suivante :

Forme canonique[modifier | modifier le code]

Une transformation linéaire U est orthogonale si et seulement si il existe un verseur U tel que :

Il s'agit de la forme dite canonique d'une transformation orthogonale.

Analyse multivectorielle[modifier | modifier le code]

Article détaillé : analyse multivectorielle.

Tout comme la donnée d'un espace vectoriel permet l'analyse vectorielle, c'est-à-dire l'étude du calcul infinitésimal pour des fonctions définies sur cet espace vectoriel à valeurs scalaires ou vectorielles, la donnée d'une algèbre géométrique, dont les éléments sont appelés multivecteurs, permet l'analyse dite multivectorielle des fonctions définies sur mais à valeurs cette fois potentiellement multivectorielles. Les anglo-saxons, à l'instar d'Hestenes, parlent de geometric calculus ou multivector calculus, tout comme ils parlent de vector calculus pour désigner ce que les francophones appellent analyse vectorielle.

Dérivée vectorielle[modifier | modifier le code]

L'outil le plus important pour cette discipline est probablement l'opérateur dit de dérivation vectorielle, qu'on peut définir ainsi :

Cette définition est le plus souvent notée ∂ = ejj, en utilisant la convention de sommation d'Einstein. Le symbole est aussi très souvent utilisé.

On montre (cf. « Analyse géométrique ») que cette définition a un sens dans la mesure où l'expression ejj forme un opérateur qui ne dépend pas de la base choisie.

Certains auteurs appellent cet opérateur gradient.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Symétrie et antisymétrie des produits intérieur et extérieur[modifier | modifier le code]

Les produits intérieur et extérieur de deux vecteurs sont, par construction, respectivement symétrique et antisymétrique :

Plus généralement, le produit extérieur de plusieurs vecteurs est antisymétrique :

Caractérisation algébrique de notions géométriques[modifier | modifier le code]

Colinéarité et orthogonalité[modifier | modifier le code]

Théorème — Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit extérieur est nul.

Cette observation, ajoutée à la définition de l'orthogonalité, permet de déduire les deux propriétés fondamentales suivantes :

Caractérisation algébrique de l'orthogonalité et de la colinéarité — 

  • Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si ils anti-commutent.
  • Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ils commutent.

C'est-à-dire[14] :

Indépendance linéaire[modifier | modifier le code]

Une généralisation de la caractérisation algébrique de la colinéarité existe pour l'indépendance linéaire. En effet, vecteurs sont linéairement indépendants si et seulement si leur produit extérieur est non nul. Ou, de façon équivalente, ils sont linéairement dépendants si et seulement si leur produit extérieur est nul :

Sous-espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

Pour tout sous-espace vectoriel de de dimension , il existe une lame Ar telle que :

Toute lame Ar caractérise donc un sous-espace vectoriel qui est alors dit sous-tendu, engendré ou dirigé par Ar.

Dans le cas particulier où est de dimension finie, il vient :

Identité de Jacobi[modifier | modifier le code]

Article connexe : Relation de Jacobi.

Structures remarquables[modifier | modifier le code]

Espace quadratique[modifier | modifier le code]

Puisque le produit intérieur de deux vecteurs est un scalaire et qu'il est distributif et symétrique, il constitue une forme quadratique sur et confère ainsi aux vecteurs de l'algèbre géométrique une structure quadratique naturelle.

Dans le cas défini précédemment comme euclidien, le produit intérieur est en outre défini positif, et satisfait donc aux conditions nécessaires et suffisantes pour définir un produit scalaire, rendant ainsi la structure quadratique euclidienne, d'où l'appellation « cas euclidien ». Dans ce cas, les notions de norme et d'orthogonalité définies précédemment coïncident respectivement avec les notions de norme euclidienne et d'orthogonalité au sens euclidien.

Algèbre extérieure[modifier | modifier le code]

Le produit extérieur fournit (en oubliant le produit géométrique dont il est issu) une définition alternative de l'algèbre extérieure de [15] :

Le vocabulaire de l'algèbre géométrique recoupe donc celui des algèbres extérieures. Par exemple, une lame de grade est aussi appelée multivecteur de grade k, k-multivecteur ou encore k-vecteur.

Sous-algèbres complexes[modifier | modifier le code]

Le carré de tout bivecteur unitaire (e1e2) construit à partir de deux vecteurs de signatures identiques, est égal à –1 :

Dès lors, la sous-algèbre engendrée par le couple (1, e1e2) est un corps isomorphe au corps des complexes. Cet isomorphisme justifie alors la notation :

de telle sorte qu'on a :

Ce résultat peut en fait être généralisé à toutes les lames unitaires dont le carré est égal à -1. Elles génèrent chacune avec la lame unitaire de grade nul un corps isomorphe au corps des complexes. C'est par exemple le cas pour le pseudoscalaire unitaire dans le cas euclidien de dimension 3 :

Une lame unitaire de grade 1, c'est-à-dire un vecteur unitaire, peut aussi engendrer un corps isomorphe au corps des complexes. Il faut et suffit pour cela que sa signature soit négative. C'est notamment le cas lorsque la structure quadratique n'est pas euclidienne, mais Lorentzienne. Par ailleurs, lorsqu'il existe au moins deux vecteurs de signatures différentes, il est possible de construire un bivecteur unitaire j tel que j2 = +1, et la sous-algèbre qu'il engendre avec l'unité est alors isomorphe au corps des nombres complexes déployés, donnant au sous-espace correspondant une structure géométrique hyperbolique.

Quaternions[modifier | modifier le code]

Dans le cas particulier où n = 3, on peut former trois bivecteurs unitaires :

Dans le cas euclidien, on a de plus :

si bien que la sous-algèbre engendrée par (1, i, j, k) est isomorphe au corps des quaternions.

i, j et k ne sont pas exactement les bivecteurs unitaires naturellement générés par la base orthonormale. En effet, on a bien i = e1 e2, j = e2 e3, mais par contre k = –e3 e1. Dans sa thèse de doctorat[16], Richard Wareham mentionne cette différence et y voit la cause de certaines erreurs de signe apparaissant parfois avec l'utilisation des quaternions. Ce sujet est aussi abordé par Chris Doran[17].

Algèbre de Lie[modifier | modifier le code]

est stable par commutateurs. À ce titre, et compte tenu de l'identité de Jacobi, il forme une algèbre de Lie.

Inversibilité[modifier | modifier le code]

Une algèbre géométrique hérite de sa structure d'anneau unitaire la notion d'inverse : un élément A est dit inversible s'il existe un élément A−1 (qui est alors unique) tel que

Tout vecteur non « nul » de est inversible :

Les verseurs sont par conséquent inversibles, comme produits d'inversibles :

Règle de De Morgan[modifier | modifier le code]

Identités remarquables[modifier | modifier le code]

Les identités remarquables suivantes sont mentionnées dans McDonald 2015. Toutes ne sont pas relevées du fait de notations légèrement différentes.

Lien avec le produit vectoriel[modifier | modifier le code]

Le produit extérieur ab n'est ni un scalaire, ni un vecteur : c'est un bivecteur, qui sera identifié plus tard comme le dual du vecteur issu du produit vectoriel. La différence entre les deux opérations étant que le bivecteur fourni par le produit extérieur est intrinsèque au plan des deux vecteurs, tandis que le produit vectoriel est noté comme un pseudovecteur perpendiculaire à ce plan.

Le produit extérieur de deux vecteurs peut être vu comme une aire orientée.

Interprétation géométrique[modifier | modifier le code]

Bivecteurs unitaires[modifier | modifier le code]

Un bivecteur unitaire s est le produit géométrique de deux vecteurs orthonormés que l'on peut, sans perdre en généralité, considérer comme les deux premiers vecteurs d'une base orthonormée (e1, e2, ...) :

L'orthonormalité de e1 et e2 donne, entre autres :

Le caractère remarquable de s provient du fait que le produit géométrique par s laisse stable l'espace vectoriel généré par (e1, e2, ...), et défini donc une transformation linéaire (ou plus précisément deux transformations linéaires, selon que la multiplication a lieu à droite ou à gauche), permettant ainsi une interprétation géométrique directe :

Le point important ici étant que e2
1
et e2
2
sont scalaires du fait du critère de contraction.

Le carré de s est un scalaire, car

Il est négatif si e1 et e2 ont la même signature, et positif dans le cas contraire. Le comportement algébrique (et géométrique dans le plan (e1, e2, ...)) de s est radicalement différent dans les deux cas.

Cas euclidien[modifier | modifier le code]

Lorsque e1 et e2 ont la même signature, on a soit soit . Dans les deux cas le bivecteur e1e2 a les mêmes propriétés algébriques et géométriques, mais pour fixer les idées on choisira ici , c'est-à-dire le cas euclidien.

On a alors la propriété importante , c'est-à-dire :

s engendre alors avec l'unité une sous-algèbre isomorphe au corps des complexes, comme vu plus haut. Ceci suggère d'utiliser dorénavant la lettre i au lieu de s dans cette section.

On aura également les relations suivantes :

C'est-à-dire que la multiplication par i tourne toute combinaison linéaire de (e1, e2, ...) d'un quart de tour, dans un sens qui dépend de si la multiplication est effectuée à gauche ou à droite. On peut s'assurer du fait que la rotation est d'un quart de tour par exemple en remarquant que 4 est le plus petit entier k tel que ik = 1. Il s'avère que cette rotation d'un quart de tour génère un groupe de rotations, comme il est montré ci-après.

Le produit géométrique d'une paire de vecteurs unitaires est noté U et est appelé tourneur[18]:

Le nom tourneur est justifié par le fait que transforme a et b l'un envers l'autre par rotation:

Lorsque a et b sont dans le plan (e1, e2, ...), on peut sans perdre en généralité choisir e1 = a et trouver un angle θ tel que :

U s'écrit alors :

et donc, par association des parties scalaires et bivectorielles de la décomposition canonique:

i est le bivecteur unitaire :

Il est alors possible d'écrire :

c'est-à-dire[19] :

Lorsqu'on multiplie (par exemple à gauche) ce tourneur par un vecteur x(ϕ) tel que :

on obtient, par application des identités trigonométriques ainsi que des règles algébriques d'orthonormalité de e1 et e2 :

Le vecteur x(ϕ) a donc bien « tourné » d'un angle θ. Un calcul similaire montrerait qu'une multiplication à droite fait tourner x(ϕ) d'un angle –θ.

En résumé :

Le produit géométrique de deux vecteurs unitaires représente donc bien une rotation.

Il y a une analogie entre tourneur et vecteur.

Une composition de rotation s'exprimera par le produit de deux tourneurs :

Il est utile d'observer que :

et que donc, pour ϕ = –θ/2 et ψ = θ/2 :

Ceci constitue la formulation dite canonique de la rotation d'angle θ.

Espace de Minkowski[modifier | modifier le code]

Lorsque e1 et e2 ont une signature différente (admettons par exemple, pour fixer les idées, que et ), on a , c'est-à-dire :

La multiplication par s intervertit e1 et e2 :

c'est-à-dire :

La multiplication par s agit donc dans le plan (e1, e2, ...) comme une réflexion dont l'axe est l'une des bissectrices des droites dirigées par e1 et e2, le choix de la bissectrice dépendant de si la multiplication a lieu à droite ou à gauche.

Le fait que s2 = 1 est cohérent avec le caractère involutif des réflexions.

Multiplication par un verseur[modifier | modifier le code]

Sauf mention contraire, on se limitera à partir d'ici au cas euclidien.

Cas général[modifier | modifier le code]

On considère désormais un couple de vecteurs (a , b) non nécessairement unitaires, mais non nuls et non colinéaires. Les résultats précédents peuvent être généralisés en considérant le couple :

Les vecteurs et sont, eux, unitaires, et ont les mêmes signatures que a et b. Ils sont aussi séparés par un même angle θ, de telle sorte que le tourneur s'écrit :

Le produit géométrique peut donc s'écrire :

tandis que le bivecteur unitaire i peut s'écrire :

On a vu précédemment que l'ensemble de multivecteurs engendré — par les combinaisons linéaires et produits géométriques — par 1 et i est un corps isomorphe au corps des nombres complexes. Ceci justifie l'emploi d'un vocabulaire et de notations analogues.

Ainsi, si l'on note z le produit ab, le scalaire

est ce qu'on appelle le module de z. Il s'agit d'une notion très différente de la norme (ou grandeur) évoquée plus haut, car cette dernière n'est définie que pour les vecteurs, et z n'est pas un vecteur.

Tout comme un nombre complexe peut être décomposé en une partie réelle et une partie imaginaire, un produit géométrique peut être décomposé en deux parties qui ne sont ni plus ni moins que les produits intérieur et extérieur, qu'on peut aussi appeler symétrique et antisymétrique, ou encore scalaire et bivectoriel.

De la même façon, θ peut être appelé argument de z.

z peut être interprété géométriquement comme l'arc orienté d'un cercle de rayon z.

Le conjugué de z est le multivecteur de même partie scalaire mais de composante bivectorielle opposée :

Le conjugué d'un produit géométrique apparaît donc comme le produit géométrique effectué en ordre inverse :

Ce fait peut être utilisé pour calculer le module du produit géométrique z.

autrement dit :

Les produits géométriques peuvent être utilisés directement sur les vecteurs :

avec l'inverse du vecteur a donné par

Ici, le produit géométrique z opère une rotation sur le vecteur a, le met à l'échelle pour donner le vecteur b (c'est une similitude).

Espace euclidien de dimension 3[modifier | modifier le code]

Soit l'espace vectoriel euclidien . Par multiplication et addition, les vecteurs engendrent une algèbre géométrique . En particulier, on peut construire une base pour l'algèbre géométrique à partir de la base orthonormée canonique de .

À l'aide du produit géométrique, on peut définir l'unité pseudoscalaire (qui représente un volume orienté) :

On a également la base de bivecteurs suivante

Les bivecteurs unités représentent des aires orientées.

Le pseudoscalaire i a des propriétés spéciales qui facilitent le passage entre l'espace vectoriel euclidien et l'algèbre géométrique. On a :

Tout bivecteur B de est le dual d'un vecteur b en considérant la relation :

Ainsi l'opération de dualité géométrique est simplement exprimée par la multiplication par le pseudoscalaire i. Cela permet d'écrire le produit extérieur sous cette forme :

,

a × b étant le « cross-product anglo-saxon », qui correspond au produit vectoriel dans la littérature scientifique française, lequel produit vectoriel est malencontreusement noté comme le produit extérieur. Le produit vectoriel est ainsi implicitement défini comme le dual du produit extérieur. Par conséquent, la décomposition canonique du produit géométrique peut être mise sous la forme :

C'est grâce à cette définition que l'on pourra faire le lien entre l'algèbre géométrique et l'analyse vectorielle standard.

Les éléments dans tous les algèbres géométrique sont dénommés des multivecteurs. Les propriétés spéciales du pseudoscalaire i permettent d'écrire tout multivecteur M de dans sa forme étendue :

,

α et β sont des scalaires et où a et b sont des vecteurs. L'intérêt de cette formulation est qu'elle réduit la multiplication de multivecteurs dans à celle des vecteurs. Les quatre termes d'un multivecteur sont linéairement indépendant, ainsi les parties scalaire, vecteur, bivecteur et pseudoscalaire des multivecteurs se combinent séparément lors d'une addition, ce qui n'est pas le cas pour la multiplication.

L'algèbre géométrique est un espace linéaire de dimension 1+3+3+1=23=8.

La forme étendue d'un multivecteur a la structure algébrique formelle d'un « scalaire complexe » α + i β augmenté d'un « vecteur complexe » a + i b, mais toute interprétation physique repose sur la signification géométrique du pseudoscalaire i.

Correspondances[modifier | modifier le code]

Avec les quaternions
Algèbre géométrique Quaternions Interprétation
1 1 scalaire
-i plan orienté yz
-j plan orienté zx
-k plan orienté xy
Avec les biquaternions
Algèbre géométrique Biquaternions Interprétation
1 1 point défini par son rayon-vecteur
i i droite orientée (vecteur selon l'axe x)
i j droite orientée (vecteur selon l'axe y)
i k droite orientée (vecteur selon l'axe z)
-k plan orienté xy (bivecteur)
-i plan orienté yz (bivecteur)
-j plan orienté zx (bivecteur)
i volume orienté xyz (trivecteur)
Avec l'algèbre des matrices

L'algèbre géométrique est analogue à l'algèbre construite sur des matrices 2 × 2 à coefficients complexes. Cette algèbre se retrouve en mécanique quantique, introduite par Wolfgang Pauli, pour modéliser le spin des particules. La base canonique de cette algèbre est constituée des huit matrices complexes de dimensions 2 × 2 suivantes :

  • pour les bivecteurs :
  • pour les trivecteurs :
  • pour les scalaires :

Discussion[modifier | modifier le code]

Le point distinctif de cette formulation est la correspondance naturelle entre les entités et les éléments de l'algèbre associative. Ceci provient du fait que le produit géométrique de deux vecteurs peut être redéfini en termes de leur produit vectoriel et de leur produit scalaire, par

On suppose que le corps des scalaires de l'espace vectoriel original est le corps des réels.

La définition et l'associativité du produit géométrique nécessitent le concept d'inverse d'un vecteur (ou division par un vecteur). Ainsi, on peut facilement établir et résoudre des équations algébriques vectorielles qui autrement seraient encombrantes à manipuler. De plus, on gagne une signification géométrique qui serait difficile à rechercher, par exemple, en utilisant les matrices. Malgré le fait que tous les éléments ne sont pas inversibles, le concept d'inversion peut être étendu aux multivecteurs. L'algèbre géométrique permet que l'on traite des sous-espaces directement, ainsi que leur manipulation. En outre, l'algèbre géométrique est un formalisme sans coordonnées.

Les objets géométriques comme ab sont appelés des bivecteurs. Un bivecteur peut être décrit comme un segment plan (un parallélogramme, un cercle etc.) doté d'une orientation. Un bivecteur représente tous les segments planaires avec la même grandeur et direction, quel que soit l'endroit où ils se trouvent dans l'espace qui les contient. Néanmoins, une fois que soit le vecteur a ou b est signifié à partir d'un certain point préféré (e.g. dans les problèmes de physique), le plan orienté B = ab est déterminé sans ambiguïté.

Comme exemple significatif, bien que simple, on peut considérer le rayon-vecteur v différent de zéro, d'un point d'un espace euclidien affine usuel, (rappelons que le rayon-vecteur d'un point affine est le vecteur qui part de l'origine et aboutit à ce point). L'ensemble de tous les rayons-vecteurs x tels que xv = B, B désignant un bivecteur donné contenant v, détermine une droite l parallèle à v. Puisque B est une aire orientée, l est uniquement déterminé en conservant l'origine choisie. L'ensemble de tous les rayons-vecteurs x tels que x . v = s, s désignant un scalaire (réel) donné, détermine un plan P orthogonal à v. De nouveau, P est uniquement déterminé en conservant l'origine choisie. Les deux morceaux d'information, B et s, peuvent être établis indépendamment l'un de l'autre. Maintenant, quel est le rayon-vecteur y qui satisfait le système {yv = B, y . v = s}  ? Géométriquement, la réponse est claire : c'est le rayon-vecteur de l'intersection de l et P. Par l'algèbre géométrique, même la réponse algébrique est simple :

où l'inverse d'un vecteur différent de zéro est exprimé par z−1 = z/zz.

Note : La division par un vecteur transforme le multivecteur s + B en une somme de deux vecteurs. De plus, la structure de la solution ne dépend pas de l'origine choisie.

Tel qu'il est défini, le produit externe (ou produit extérieur, ou produit vectoriel) engendre l'algèbre graduée (algèbre extérieure de Hermann Grassmann) des multivecteurs. Un multivecteur est ainsi une somme directe d'éléments de degré k (k-vecteurs), où k va de 0 (scalaires) à n, la dimension de l'espace vectoriel original . Les multivecteurs sont représentés ici par les majuscules grasses. Note : Les scalaires et les vecteurs deviennent des cas particuliers de multivecteurs (« 0-vecteurs » et « 1-vecteurs », respectivement).

La règle de contraction[modifier | modifier le code]

La connexion entre les algèbres de Clifford et les formes quadratiques provient de la propriété de contraction. Cette règle donne aussi à l'espace une métrique définie par le produit interne naturellement dérivé. Également, dans l'algèbre géométrique dans toute sa généralité, il n'existe pas une quelconque restriction sur la valeur du scalaire, il peut être négatif, même zéro (dans ce cas, la possibilité d'un produit interne est éliminée si vous demandez ).

La règle de contraction peut être mise sous la forme :

|a| est le module du vecteur a et est appelé la signature du vecteur a. Ceci est particulièrement utile dans la construction de l'espace de Minkowski (l'espace-temps de la relativité) via . Dans ce contexte, les vecteurs nuls sont appelés vecteurs de lumière, les vecteurs à signature négative sont appelés vecteurs d'espace et les vecteurs à signature positive sont appelés vecteurs de temps (ces deux dernières dénominations sont échangées lorsqu'on utilise à la place).

Produits intérieur et extérieur[modifier | modifier le code]

Le produit scalaire usuel et le produit vectoriel de l'algèbre vectorielle traditionnelle (sur ) trouvent leurs places dans l'algèbre géométrique comme le produit interne

(qui est symétrique) et le produit externe

avec

(qui est antisymétrique). La distinction entre vecteurs axiaux et polaires, obscure en algèbre vectorielle, est naturelle en algèbre géométrique, où elle s'exprime comme la distinction entre vecteurs et bivecteurs (éléments de grade deux). Le i ici est l'unité pseudoscalaire du 3-espace euclidien, qui établit une dualité entre les vecteurs et les bivecteurs, et est nommé ainsi à cause de la propriété prévue i2 = –1.

Alors que le produit vectoriel peut seulement être défini dans un espace à trois dimensions, les produits interne et externe peuvent être généralisés à n'importe quelle dimension.

Soient un vecteur et un multivecteur homogène de grade k. Leur produit interne est alors : et leur produit externe est

Algèbre géométrique conforme[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Algèbre géométrique conforme.

Un espace vectoriel, même muni d'un produit scalaire, n'est pas, à lui seul, approprié pour modéliser l'espace usuel, c'est-à-dire l'espace euclidien. En effet, il faut pouvoir distinguer les concepts de points et de vecteurs. Pour cela, plusieurs modèles existent, les plus notables étant l'espace affine et la géométrie projective.

Tandis que la géométrie projective ajoute une dimension supplémentaire, faisant de l'espace usuel un hyperplan, l'algèbre géométrique conforme est un modèle de l'espace euclidien basé sur l'algèbre géométrique qui ajoute non pas une mais deux dimensions supplémentaires. Ces deux dimensions ayant la structure d'un espace de Minkowski, l'espace usuel devient alors une horosphère.

Applications[modifier | modifier le code]

Relativité restreinte et électromagnétisme[modifier | modifier le code]

Un exemple utile est , et la façon dont il engendre , un exemple d'algèbre géométrique qu'Hestenes appelle algèbre de l'espace-temps[20]. Cette algèbre est dotée d'une base de vecteurs le plus souvent notés telle que[21] :

constitue une base orthonormée de l'espace euclidien usuel. est quant à lui le vecteur séparant deux événements d'une unité de temps.

Le champ électromagnétique, dans ce contexte, s'avère être un champ bivectoriel pour lequel les champs électriques et magnétiques caractérisent les parties respectivement spatio-temporelles (c'est-à-dire contenant la direction temporelle) et purement spatiales (bivecteurs dirigés par deux directions de l'espace usuel) :

ou, de façon plus détaillée :

On peut alors montrer que les équations de Maxwell traduisent le fait que le quadrivecteur courant dérive de ce champ bivectoriel :